二項分布のわかりやすいまとめ

2024.3.16

2024.5.17

二項分布

二項分布とは（Binomial Distribution）
二項分布の公式まとめ
二項分布と正規分布の関係
二項分布と多項分布の関係
二項分布の共役事前分布
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二項分布とは（Binomial Distribution）

二項分布（Binomial Distribution）とは、互いに独立したベルヌーイ試行をn回行ったときに、ある事象が何回起こるかの確率分布です。

例えば、「コインを5回投げた時に表2回出る確率」、「対戦ゲームで90%の確率で当たる技を10回中8回当てる確率」などを表した確率分布です。

また、ベルヌーイ試行がの回数が1回のとき（すなわちn = 1のとき）、二項分布はベルヌーイ分布となります。

二項分布の公式まとめ

二項分布の基本的な公式は以下となります。

積率母関数	$M_{X}(t)={(\mathrm{e}^tp+1-p)}^n$
確率質量関数	$P(X=k)=\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}$
分布関数	$F\left( x\right) =\sum^{x}_{k=0}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k}q^{n-k}$
特性関数	$(pe^{it}+q)^n$
キュムラント母関数	$nlog(pe^t+q)$
期待値	$E(X)=np$
分散	$V(X)=np(1-p)$
最頻値	$p(n+1)-1≦x≦p(n+1)$
歪度	$\frac{q-p}{\sqrt{npq}}$

積率母関数を用いた期待値・分散の導出はこちら

確率質量関数を用いた期待値・分散の導出はこちら

指数型分布族の性質を利用した期待値・分散の導出はこちら

確率質量関数を用いた最頻値の導出はこちら

歪度・尖度の導出はこちら

二項分布と正規分布の関係

二項分布 $B(n.p)$ は $n$ が十分に大きいとき、平均 $np$ 、分散 $np(1-p)$ の正規分布に近づきます。

また、 $\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ は近似的に標準正規分布に従います。これをド・モアブルー・ラプラスの定理といいます。

二項分布と多項分布の関係

多項分布とは、二項分布を一般化した確率分布です。

確率変数（ベクトル） $\begin{equation*}\begin{split} {\bf X} = (X_{1}, X_{2}, ..., X_{k}) \end{split}\end{equation*}$ が以下の結合関数を持つ時に従う確率分布を、パラメータ $\begin{equation*}\begin{split} n, {\bf P} = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{k}) \end{split}\end{equation*}$ の多項分布といいます。

多項分布の確率密度関数
$\begin{equation*}\begin{split} f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{k}) &= \displaystyle \frac{n!}{x_{1}! x_{2}! ... x_{k}!} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}} ... p_{k}^{x_{k}} (x_{i} \geq 0, x_{1} + ... + x_{k} = n) \end{split}\end{equation*}$
ただし、 $n$ は整数であり、 $p_{i}\gt0 (i = 1, 2, ..., k), p_{1} + p_{2} + ... + p_{k} = 1$