ベルヌーイ試行の定義をわかりやすく解説

ベルヌーイ試行とは

ベルヌーイ試行とは、「成功か失敗か」「表か裏か」「勝ちか負けか」のように２種類のみの結果しか得られないような実験、試行のことを指します。

ベルヌーイ試行の定義

ベルヌーイ試行とは次の３つの条件を満たす試行である。

1.試行の結果は成功または失敗のいずれかである。
2.各試行は独立である。
3.成功確率$p$、失敗確率$(1-p)$は試行を通じて一定である。

定義の解説

この定義の1~3をそれぞれについて「１つのコインを投げる」試行に置き換えて少し噛み砕いて説明します。

1.試行の結果は成功または失敗のいずれかである。

「コインを投げて、投げたコインの表がでるか否か」という試行の結果は２通り（成功＝「表」失敗＝「表でない」）で、ベルヌーイ試行と呼べます。しかし、コインの「表がでるか裏が出るかコインが机の上にたつ」かという試行のように、結果が２通り以上ある試行はベルヌーイ試行とは呼べないということです。

2.各試行は独立である。

「コインを投げて、投げたコインの表がでるか否か」という試行を考えます。コインを投げの試行は、100回連続で表が出ても次のコイン投げの試行は「前のコイン投げの結果に全く左右されることはない」＝「独立である」ため、ベルヌーイ試行と呼べます。しかし、１つ前の試行で表が出た場合、次の試行で表が出やすくなるコインを投げる試行は、「１回目の試行が２回目の試行の結果に影響を与える」＝「独立でない」ため、ベルヌーイ試行と呼べません。

3.成功確率$p$、失敗確率$(1-p)$は試行を通じて一定である。

途中で何回も投げるうちにコインが変形し、「表が出る可能性がどんどん増えて行く、または減って行く」ような試行は成功確率（＝表が出る確率）$p$は途中で変化し、一定でないため、ベルヌーイ試行とは呼べません。

ベルヌーイ試行と確率分布

ベルヌーイ試行は、様々な分布の基礎になっています。

ベルヌーイ分布（Bernoulli distribution）

ベルヌーイ分布とは、ベルヌーイ試行の結果を0と1で表した分布を指します。

1である確率が$p$であるとき、0である確率は$1-p$となる、非常にシンプルな確率分布です。

二項分布（Binomial Distribution）

二項分布とは、互いに独立したベルヌーイ試行をn回行ったときに、ある事象が何回起こるかの確率分布です。

例えば、「コインを5回投げた時に表2回出る確率」、「対戦ゲームで90%の確率で当たる技を10回中8回当てる確率」などを表した確率分布です。

また、ベルヌーイ試行がの回数が1回のとき（すなわちn = 1のとき）、二項分布はベルヌーイ分布となります。

幾何分布（Geometric distribution）

幾何分布とは、成功確率$p$のベルヌーイ試行を、初めて成功するまで繰り返した時の試行回数$x$の確率分布です。