積率母関数とは

積率母関数（モーメント母関数）とは

積率母関数（モーメント母関数）は、確率統計を理解する上で非常に重要な概念です。

確率変数$X$に期待値が存在するとき、$X$の積率母関数$M_X(t)$は以下のように定義されます。

$M_X(t) ≡ E(e^{tX})$

積率母関数は、例えば$X$が連続型で、その確率密度関数が$f(x)$である場合、

$M_X(t) = \displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } e^{tx}f(x) dx$

と表すことできます。

積率母関数は、積分が収束しない場合存在しません。そのときは積率母関数の代わりに、特性関数を使って計算することが多くなります。

積率母関数のメリット

積率母関数を使えば、平均や分散、m次モーメントを楽に求めることができます。

確率密度関数のm次モーメント

$M^{(m)}_X(t)$を$M_X(t)$の$t$での$m$回微分であるとしたとき、

$M^{(m)}_X(t) = E^{(m)}(e^{tX}) = E(X^me^{tX})$

となります。これが、$t=0$の開区間で存在するとき、t=0をこの式に代入すると、

$M^{(m)}_X(t) =E(X^m)$

が得られます。これは、確率変数$X$の$m$次モーメントです。

積率母関数で平均や分散を求める

積率母関数を求められれば、多くの分布の平均や分散を比較的簡単に求めることができます。

例：正規分布の平均と分散（導出過程の詳細はこちら）

まず、正規分布$N(μ,σ^2)$の積率母関数は以下の式です。

$M_X(t) ={\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}$

この式のtでの１回微分、２回微分はそれぞれ、

$M^{1}_X(t) =(\mu+{\sigma}^{2}t){\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}$

$M^{2}_X(t) ={{\sigma}^{2}}{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}+{(\mu+{\sigma}^{2}t)}^{2}{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}$

となり、この結果に$t=0$を代入すると、

$M^{1}_X(0) = E(X) = μ$

$M^{2}_X(0) = E(X^2) = σ^2 + μ^2$

となります。また、分散は以下により求めれれます。

$V(X)=E(X^2)-{(E(X))}^{2} = {\sigma}^{2}$

確率変数が複数のときの積率母関数

確率変数が複数になっても積率母関数の概念は使えます。

確率変数$X,Y$に対して、

$M_{XY}(s,t) = E(e^{sX+tY})$

が$s=0,t=0$の開区間で存在するとき、$M_{XY}(s,t)$は$X,Y$の積率（モーメント）母関数と定義されます。変数が複数になっても、モーメントは以下のように、tやsで微分して$t=0,s=0$を代入することによって得られます。

$M_{XY}^{(m,n)}(0,0) = E(X^mY^n)$

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