積率母関数を用いた二項分布の期待値・分散の導出

公式の確認

まずは、公式の確認をしましょう。

二項分布の積率母関数（モーメント母関数）の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}M_X(t)&=E(\mathrm{e}^{tk})\\ &=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{tk}P(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{tk}\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{tk}\ <em>n C</em>k p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\ <em>n C</em>k {(\mathrm{e}^tp)}^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &={(\mathrm{e}^tp+1-p)}^n \end{split}\end{equation*}$$

積率母関数を用いた期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{M_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=n{(\mathrm{e}^tp+1-p)}^{n-1}p\mathrm{e}^t|_{t=0}\\ &=n{(1-p+p)}^{n-1}p\\ &=np\end{split}\end{equation*}$$

積率母関数を用いた分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{M_x}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &={(np(\mathrm{e}^tp+1-p)^{n-1}\mathrm{e}^t)}'|_{t=0}\\ &=n(n-1)p(\mathrm{e}^{t}p+1-p)^{n-2}p\mathrm{e}^t+np(\mathrm{e}^tp+1-p)^{n-1}\mathrm{e}^t\\ &=n(n-1)p^2+np\\\\ V(X)&=E(X^2)-{E(X)}^2\\ &=np(1-p) \end{split}\end{equation*}$$

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