カイ二乗分布を用いたF分布の期待値と分散の導出

F分布の公式の確認

F分布の公式を確認しましょう。

ガンマ関数の確認

カイ二乗分布を用いた期待値・分散の導出に必要なガンマ関数の性質を紹介します。

性質①

$\Gamma(a) = \int_0^\infty t^{a-1} \mathrm{e}^{-t} dt$

性質②

$\Gamma(a+1) = a \Gamma(a)$

期待値の導出

$X, Y$がそれぞれ自由度$n, m$のカイ二乗分布に従う互いに独立な確率変数とし、$Z = \frac{\frac{X}{n}}{\frac{Y}{m}}$が自由度$n, m$のF分布に従うとします。

まず、Zの期待値について考えましょう。

$$\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &= \displaystyle E(\frac{\frac{X}{n}}{\frac{Y}{m}}) \\ &= \displaystyle E(\frac{X}{n})E(\frac{1}{\frac{Y}{m}}) \\ &= \displaystyle \frac{m}{n}E(X)E(\frac{1}{Y}) \end{split}\end{equation*}$$

補足

上記の式変形には、独立な2つの確率変数$X,Y$の期待値の性質と期待値の線形性を利用しています。

期待値の性質については、「期待値とは？定義や性質を解説」をご確認ください。

次に、$E(X)$と$E(\frac{1}{Y})$を考えます。

$X$は自由度$n$のカイ二乗分布に従う確率変数なので、

$E(X) = n$

補足

カイ二乗分布については、「カイ二乗分布のわかりやすいまとめ」をご確認ください。

次に$E(\frac{1}{Y})$を求めます。

$$\begin{equation*}\begin{split} E(\frac{1}{Y}) &= \displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{y} f(y) dy \\ &= \displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{y} \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} y^{\frac{m}{2}-1} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2}} dy  \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} \int_0^\infty y^{\frac{m-2}{2}-1} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2}}dy \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} \int_0^\infty 2^{\frac{m}{2}-2} w^{\frac{m-2}{2}-1} \mathrm{e}^{-w} 2 dw \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} \frac{1}{2} \int_0^\infty w^{\frac{m-2}{2}-1} \mathrm{e}^{-w} dw \end{split}\end{equation*}$$

補足

4行目において、$\frac{y}{2} = w$とおいています。ここで5行目の$w$の積分式について、ガンマ関数の性質①を利用して次のように式を変形します。

$\int_0^\infty w^{\frac{m-2}{2}-1} \mathrm{e}^{-w} dw = \Gamma(\frac{m-2}{2})$

上記に加えて、ガンマ関数の性質②を利用することで、最終的に$E(\frac{1}{Y})$は以下の値となります。

$$\begin{equation*}\begin{split} E(\frac{1}{Y}) &= \displaystyle \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{m-2}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{m-2}{2})}{(\frac{m-2}{2})\Gamma(\frac{m-2}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{m-2}{2}} = \frac{1}{m-2} \end{split}\end{equation*}$$

$E(X)$と$E(\frac{1}{Y})$の値を$E(Z)$に代入します。

$$\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &=  \displaystyle \frac{m}{n}E(X)E(\frac{1}{Y}) \\ &= \displaystyle \frac{m}{n} \times n \times \frac{1}{m-2}\\ &= \displaystyle \frac{m}{m-2} \end{split}\end{equation*}$$

これで、F分布の期待値を導出できました。

分散の導出

まず、Zの分散$V(Z)$を考えましょう。

$V(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2$

$E(Z)$は期待値の導出過程で求めたので、$E(Z^2)$を求めます。

$$\begin{equation*}\begin{split} E(Z^2) &= \displaystyle E(\frac{\frac{X^2}{n^2}}{\frac{Y^2}{m^2}}) \\ &= \displaystyle \frac{m^2}{n^2}E(X^2)E(\frac{1}{Y^2}) \end{split}\end{equation*}$$

$E(X^2)$は、$X$は自由度$n$のカイ二乗分布に従う確率変数なので、

$E(X^2) = n^2 + 2n$

次に、$E(\frac{1}{Y^2})$を求めます。

$$\begin{equation*}\begin{split} E(\frac{1}{Y^2}) &= \displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{y^2} f(y) dy \\ &= \displaystyle  \int_0^\infty \frac{1}{y^2} \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} y^{\frac{m}{2}-1} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2}} dy \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} \int_0^\infty y^{\frac{m-2}{2}-2} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2}} dy \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} \int_0^\infty 2^{\frac{m}{2}-3} w^{\frac{m-2}{2}-2} \mathrm{e}^{-w} 2dw \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^{\frac{m}{2}} 2^{\frac{m}{2}-2} \int_0^\infty w^{\frac{m-4}{2}-1} \mathrm{e}^{-w} dw \end{split}\end{equation*}$$

補足

4行目において$\frac{y}{2} = w$とおきました。また、5行目の$w$の積分式についてガンマ関数の性質①より

$\int_0^\infty w^{\frac{m-4}{2}-1} \mathrm{e}^{-w} dw = \Gamma(\frac{m-4}{2})$

と表すことができます。上式を$E(\frac{1}{Y^2})$に代入し、さらにガンマ関数の性質②を用います。

$$\begin{equation*}\begin{split} E(\frac{1}{Y^2}) &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^2 \Gamma(\frac{m-4}{2}) \\ &= \displaystyle \frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})} (\frac{1}{2})^2 \frac{1}{\frac{m}{2}-2} \frac{1}{\frac{m}{2}-1} \Gamma(\frac{m}{2}) \\ &= \displaystyle \frac{1}{4} \frac{1}{(\frac{m}{2}-2)(\frac{m}{2}-1)} \\ &= \displaystyle \frac{1}{(m-4)(m-2)} \end{split}\end{equation*}$$

したがって、この値を$E(Z^2)$に代入すると

$$\begin{equation*}\begin{split} E(Z^2) &= \displaystyle \frac{m^2}{n^2} E(X^2) E(\frac{1}{Y^2}) \\ &= \displaystyle \frac{m^2}{n^2} \times n^2 + 2n \times \frac{1}{(m-4)(m-2)} \\ &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-4)(m-2)} \end{split}\end{equation*}$$

$Z$の分散$V(Z)$は以下となります。

$$\begin{equation*}\begin{split} Var(Z) &= \displaystyle E(Z^2) - (E(Z))^2 \\ &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-4)(m-2)} - \frac{m^2}{(m-2)^2} \\ &= \displaystyle \frac{m^2 \{ (n+2)(m-2)-n(m-4) \} }{n(m-2)^2 (m-4)} \\ &= \frac{2m^2 (n+m-2)}{n(m-2)^2 (m-4)} \end{split}\end{equation*}$$

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