F分布の公式の確認
F分布の公式を確認しましょう。
確率密度関数 | f(z)=B(2n,2m)(mn)2n(1+mnz)−2n+mz2n−1 |
期待値 | E(Z)=m−2m |
分散 | V(Z)=n(m−2)2(m−4)2m2(n+m−2) |
ベータ関数とガンマ関数の確認
導出過程で利用するベータ関数とガンマ関数について確認しましょう。
ベータ関数の定義
B(a,b)=∫01ta−1(1−t)b−1dt
ガンマ関数の性質
Γ(a+1)=aΓ(a)
ベータ関数とガンマ関数の関係
B(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)
期待値の導出
まずはZの期待値E(Z)を求めます。連続型確率変数の場合の期待値の定義より、次のように求められます。
E(Z)=∫0∞zf(z)dz=B(2n,2m)(mn)2n∫0∞(1+mnz)2n+mz2ndz
ここで、1+mnz1=uとおくと
z=nm(u−1−1)
上式をuについて微分すると
dudz=−nmu−2
となります。
上記をE(Z)の式に代入すると
E(Z)=B(2n,2m)(mn)2n ∫10(nm(u−1−1))2nu2n+m(−nmu−2)du= B(2n,2m)nm∫01(u−1−1)2nu2n+m−2du=B(2n,2m)nm∫01(1−u)2nu2m−2du
ここで、3行目のuの積分式について、次のように変形を行うことができます。
∫01(1−u)2nu2m−2du=∫01u2m−1−1(1−u)2n+1−1du=B(2m−1,2n+1)
ベータ関数の定義と一致すると言えるので、
E(Z)=B(2n,2m)nmB(2m−1,2n+1)
さらに、ベータ関数とガンマ関数の関係式より
E(Z)= B(2n,2m)nmΓ(2m+2n)Γ(2m−1)Γ(2n+1)
最後にガンマ関数の性質を用いて、
E(Z)=B(2n,2m)nmΓ(2m+2n)2m−11Γ(2m)2nΓ(2n)=m−2mB(2n,2m)1Γ(2m+2n)Γ(2m)Γ(2n)=m−2mΓ(2m)Γ(2n)Γ(2n+2m)Γ(2m+2n)Γ(2m)Γ(2n)=m−2m
分散の導出
次にZの分散を求めます。分散の性質より、
V(Z)=E(Z2)−E(Z)2
E(Z)は期待値の導出過程で求めたので、E(Z2)を求めます。
E(Z)= ∫−∞∞z2f(z)dz =∫0∞z2B(2n,2m)(mn)2n(1+mnz)2n+mz2n−1dz=B(2n,2m)(mn)2n∫0∞(1+mnz)2n+mz2n+1dz
ここで1+mnz1=uとおくことで
z=nm(u−1−1)
上式をuについて微分すると
dudz=−nmu−2
E(Z2)に代入すると
E(Z2)=B(2n,2m)(mn)2n ∫10(nm(u−1−1))2n+1u2n+m(−nmu−2)du=B(2n,2m)n2m2∫01(u−1−1)2n+1u2n+m−2du= B(2n,2m)n2m2∫01(1−u)2n+1u2m−3du
3行目のuの積分式についてベータ関数の定義に一致させるように式変形をします。
∫01(1−u)2n+1u2m−3du=∫01u2m−2−1(1−u)2n+2−1du=B(2m−2,2n+2)
上式を代入することで
E(Z2)=B(2n,2m)n2m2B(2m−2,2n+2)
となります。
ここでベータ関数とガンマ関数の関係式を用いて、
E(Z2)=B(2n,2m)n2m2Γ(2m+2n)Γ(2m−2)Γ(2n+1)
さらにガンマ関数の性質を用いることで、E(Z2)は以下のようになります。
E(Z)= B(2n,2m)n2m2Γ(2m+2n)(2m−11)(2m−11)Γ(2m)(2n+1)2nΓ(2n)=n(m−2)(m−4)m2(n+2)B(2n,2m)1Γ(2m+2n)Γ(2m)Γ(2n)=n(m−2)(m−4)m2(n+2)Γ(2n)Γ(2m)Γ(2n+2m)Γ(2m+2n)Γ(2m)Γ(2n)=n(m−2)(m−4)m2(n+2)
この値をV(Z)の式に代入すると
V(Z)=n(m−2)(m−4)m2(n+2)−(m−2)2m2=n(m−2)2(m−4)m2{(n+2)(m−2)−n(m−4)}=n(m−2)2(m−4)2m2(n+m−2)
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