ベルヌーイ分布の分かりやすいまとめ

ベルヌーイ分布とは

ベルヌーイ分布とは、「成功か失敗か」「表か裏か」「勝ちか負けか」のように２種類のみの結果しか得られないような試行（ベルヌーイ試行）の結果を0と1で表した分布を指します。

1である確率が$p$であるとき、0である確率は$1-p$となる、非常にシンプルな確率分布です。

ベルヌーイ分布の公式

ベルヌーイ分布にまつわる公式を確認しておきましょう。

ベルヌーイ分布の確率質量関数

ベルヌーイ分布の確率質量関数は以下です。

$f(k;p)=p^k(1-p)^{(1-k)}$

$k$が成功か失敗を表すパラメータ（1→成功、0→失敗を表す）で、$p$は成功確率を表します。

この確率質量関数は（成功時（パラメータ$k=1$のとき）に成功確率の$p$となり、失敗時（パラメータ$k=0$のとき）に失敗確率$1-p$となることを示しています。

ベルヌーイ分布の期待値と分散

導出については、「確率質量関数を用いたベルヌーイ分布の期待値（平均）と分散の導出」をご確認ください。

期待値

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\sum kP(X=k)\\&=p\end{split}\end{equation*}$$

分散

$$\begin{equation*}\begin{split}V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=p(1-p) \end{split}\end{equation*}$$

ベルヌーイ分布と二項分布

ベルヌーイ試行を繰り返し行い、その成功回数の分布が二項分布となります。

二項分布の確率質量関数は以下です。

$P(X=k)=\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}$

ここで、$n$はベルヌーイ試行の回数、$p$はベルヌーイ試行の成功確率を表し、$k$に成功回数を代入するとその確率を計算することができます。

ベルヌーイ分布の事後分布

ベルヌーイ分布からデータを取得する場合、共役事前分布がベータ分布、その事後分布もベータ分となります。

よって、ベルヌーイ分布の事後分布の平均・分散について、以下のようなことが言えます。

成功確率$p$の試行を$1$回行い、$x$回成功したとする（$x$は$Bi(1,p)$に従う）。この試行を$n$回行った。

パラメータ$p$の事前分布として$Beta(\alpha,\beta)$のベータ分布をとるとき、$p$の事後分布は、

平均：$\frac{\alpha+\gamma}{\alpha+\beta+n}$

分散：$\frac{(\alpha+\gamma)(\beta+n-\gamma)}{(\alpha+\beta+n)^2(\alpha+\beta+n+1)}$

のベータ分布$Beta(\alpha+\gamma,\beta+(n-\gamma))$に従う。

ただし、$\gamma$は成功回数である。

具体的な導出は、「ベルヌーイ分布の事後分布の平均と分散」をご確認ください。

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