ポアソン分布とは

ポアソン分布とは（poisson distribution）

ポアソン分布とは、二項分布$B(n,p)$において、期待値$np=λ$を固定し、試行回数$n$と成功確率$p$をそれぞれ$n→∞$、$p→0$としたときに得られる確率分布です。

ポアソン分布の確率質量関数

ポアソン分布の確率質量関数は以下のように表されます。

$P(X=k)=\frac{λ^k \mathrm{e}^{-λ}}{k!}$

ポアソン分布の積率母関数

ポアソン分布の積率母関数は以下のように表されます。

$M_{X}(t)=\mathrm{e}^{λ(\mathrm{e}^{t}-1)}$

積率母関数の導出は「積率母関数を用いたポアソン分布の期待値と分散の導出」で説明しています。

ポアソン分布の期待値・分散

ポアソン分布の期待値・分散はいずれも$λ$です。

積率母関数を用いた期待値・分散の導出はこちら

確率質量関数を用いた期待値・分散の導出はこちら

ポアソン分布の共役事前分布

共役事前分布とは、ベイズ統計を扱う際に、複雑な計算を回避するために考えられた事前分布です。

共役事前分布を用いて事後分布を求めると、事後分布が事前分布と同じ分布になるという特性があります。

ポアソン分布は指数型分布族に属するため、ガンマ分布を共役事前分布に持ちます。

データを取ってくる母集団の確率分布がポアソン分布であるとき、事前分布にガンマ分布を設定すれば、事後分布もガンマ分布となります。

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