確率質量関数を用いたポアソン分布の期待値と分散の導出

公式の確認

まずは公式を確認しましょう。

期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-1)!}\\ &=λ\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k-1}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-1)!}\\ &=λ\end{split}\end{equation*}$$

補足

$\frac{λ^{k-1}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-1)!}$

のk-1をk'とおくと、

$\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}$となる。

これはパラメータがλとk'のポアソン分布の確率質量関数である。

よって、

$\sum_{k'=0}^{n}\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}=1$

確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、１である。

（ある事象における全ての確率を足すと１になることと同義）

分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\sum_{k=0}^{n}k^{2}P(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^{n}k^{2}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^{n}(k(k-1)+k)\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}+\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\end{split}\end{equation*}$$

補足

$\sum_{k=0}^{n}k\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}$

これは、先ほど導出したポアソン分布の期待値であるため、λとなる。

$$\begin{equation*}\begin{split}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}+λ\\ &=λ^{2}\sum_{k=0}^{n}\frac{λ^{k-2}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}+λ\\ &=λ^{2}+λ\end{split}\end{equation*}$$

補足

$\frac{λ^{k-2}\mathrm{e}^{-λ}}{(k-2)!}$

のk-2をk'とおくと、

$\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}$となる。

これはパラメータがλとk'のポアソン分布の確率質量関数である。

よって、

$\sum_{k'=0}^{n}\frac{λ^{k'}\mathrm{e}^{-λ}}{(k')!}=1$

確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、１である。

（ある事象における全ての確率を足すと１になることと同義）

$$\begin{equation*}\begin{split}V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=λ^{2}+λ-(λ)^2\\ &=λ\end{split}\end{equation*}$$

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