公式の確認
まずは、公式を確認しましょう。
積率母関数 | MX(t)=eλ(et−1) |
期待値 | E(X)=λ |
分散 | V(X)=λ |
積率母関数の導出
MX(t)=E(etk)=k=0∑∞etkP(X=k)=k=0∑∞etkk!λke−λ=e−λk=0∑∞k!(λet)k=e−λeλet=eλ(et−1)
補足
指数関数のマクローリン展開は、
ex=∑k=0∞k!xk
である。上式をx=λetと置換すると、
eλet=∑k=0∞k!λetk
となる。これを用いて式変形を行う。
積率母関数を用いた期待値の導出
E(X)=dtdMx(t)t=0=(eλ(et−1))′=(λ(et−1))′eλ(et−1)t=0=λet+λ(et−1)t=0=λ
積率母関数を用いた分散の導出
E(X2)V(X)=dt2d2Mx(t)t=0=(λet+λ(et−1))′t=0=λ(t+λ(et−1))′et+λ(et−1)t=0=λ(1+λet)et+λ(et−1)t=0=λ2+λ=E(X2)−(E(X))2=λ2+λ−λ2=λ
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