正規分布の3つの性質とその証明

正規分布の性質

正規分布には代表的な3つの性質があります。

性質1：確率変数aX+bが従う正規分布

確率変数$X$が正規分布$N(μ,σ^2)$に従うとき、$aX+b$は正規分布$N(aμ+b,a^2σ^2)$に従う。

性質2：標準化による標準正規分布

性質１を用いて、$Z = \frac{X-μ}{σ}$と変換すると、$Z$は平均0、分散1の正規分布に従う。これを特別に標準正規分布という。

また、この変換を正規分布の標準化と呼ぶ。

性質3：正規分布の再現性

確率変数$X$と$Y$が独立に正規分布$N(μ_1,σ_1^2)$,$N(μ_2,σ_2^2)$にそれぞれ従うとき、$X+Y$も正規分布に従う。

また、その分布は$N(μ_1+μ_2,σ_1^2+σ_2^2)$となる。この性質を正規分布の再生性という。

性質1：確率変数aX+bが従う正規分布

【性質】

確率変数$X$が正規分布$N(μ,σ^2)$に従うとき、$aX+b$は正規分布$N(aμ+b,a^2σ^2)$に従う。

【証明】

正規分布の確率密度関数を用いる。

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ のとき，確率密度関数は以下となる。

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}$

ここから$Y=aX+b$によるYの確率密度関数$g(y)$を求める。

変数変換 $y=ax+b$ を考えると、以下となる。

$x = \frac{y-b}{a}$

$g(y)=f(x)\frac{dx}{dy}$

また、 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{a}$ であることから、

$$\begin{equation*}\begin{split}g(y)&= f(x)\frac{dx}{dy} \\\\ &= \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(\frac{y-b}{a}-μ)^2}{2σ^2}]}×\frac{1}{a}\\\\ &=  \frac{1}{\sqrt{2πa^2σ^2}}\exp{[-\frac{(y-(aμ+b))^2}{2a^2σ^2}]}\end{split}\end{equation*}$$

となる。

この$g(y)$の密度関数は、平均 $aμ+b$ ,分散$a^2σ^2$に従う。

よって、確率変数$X$が正規分布$N(μ,σ^2)$に従うとき、$aX+b$は正規分布$N(aμ+b,a^2σ^2)$に従う。

性質2：標準化による標準正規分布

【性質】

性質１を用いて、$Z = \frac{X-μ}{σ}$と変換すると、$Z$は平均0、分散1の正規分布に従う。これを特別に標準正規分布という。また、この変換を正規分布の標準化と呼ぶ。

【証明】

標準化の証明は「正規分布を標準化して標準正規分布にする方法」をご確認ください。

性質3：正規分布の再生性

【性質】

確率変数$X$と$Y$が独立に正規分布$N(μ_1,σ_1^2)$,$N(μ_2,σ_2^2)$にそれぞれ従うとき、$X+Y$も正規分布に従う。また、その分布は$N(μ_1+μ_2,σ_1^2+σ_2^2)$となる。この性質を正規分布の再生性という。

【証明】

互いに独立な確率変数$X～N(μ_1,σ_1^2)$と$Y～N(μ_2,σ_2^2)$をおく。

$X$と$Y$の積率母関数は、それぞれ以下で表される。

$m_X(t) = {\mathrm{e}}^{\mu_1 t+\frac{{\sigma_1}^{2}t^2}{2}}$

$m_Y(t) = {\mathrm{e}}^{\mu_2 t+\frac{{\sigma_2}^{2}t^2}{2}}$

従って、$X+Y$の積率母関数(モーメント母関数)は、以下で表される。

$$\begin{equation*}\begin{split}m_{X+Y}(t) &= m_X(t)m_Y(t) \\\\ &= {\mathrm{e}}^{\mu_1 +\frac{{\sigma_1}^{2}t^2}{2}}{\mathrm{e}}^{\mu_2 t+\frac{{\sigma_2}^{2}t^2}{2}} \\\\ &= {\mathrm{e}}^{(\mu_1+\mu_2)t+\frac{({\sigma_1}^{2}+{\sigma_2}^{2})t^2}{2}}\end{split}\end{equation*}$$

これは、$N(μ_1+μ_2,σ_1^2+σ_2^2)$の積率母関数である。

積率母関数は積率母関数の一意性により確率分布と1対1対応するので、$X+Y$の分布は$N(μ_1+μ_2,σ_1^2+σ_2^2)$となる。

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