積率母関数を用いた正規分布の期待値（平均）と分散の導出

公式の確認

まずは、公式の確認をしましょう。

正規分布の積率母関数の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}m_X(t)&=E(\mathrm{e}^{tX})\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-\mu)^2}{2σ^2}+tx]}dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{1}{2σ^2}(x^2-2\mu x+{\mu}^{2}-2{\sigma}^{2}tx)]}dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{1}{2σ^2}({(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))}^{2}+2\mu{\sigma}^{2}t+{\sigma}^{4}t^{2})]}dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))^2}{2σ^2}+\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}]}dx\\ &={\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))^2}{2σ^2}]}dx\\ &={\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\end{split}\end{equation*}$$

積率母関数を用いた期待値（平均）の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{m_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{{({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}})}'t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(t(b-a))}'}{{(t(b-a))}^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{{({a\mathrm{e}^{tb}}-{b\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}}{{(t(b-a))}^2}\right|_{t=0}\\ \end{split}\end{equation*}$$

積率母関数を用いた分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{m_x}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.{(\mu+{\sigma}^{2}t)}'{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}+{(\mu+{\sigma}^{2}t)}^{2}{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\right|_{t=0}\\ &=\left.{{\sigma}^{2}}+{(\mu+{\sigma}^{2}t)}^{2}\right|_{t=0}\\ &={\sigma}^{2}+{\mu}^{2}\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^{2}\\ &={\sigma}^{2}+{\mu}^{2}-{\mu}^{2}\\ &={\sigma}^{2}\end{split}\end{equation*}$$

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