F分布の確率密度関数をカイ二乗分布を用いて導出

F分布とカイ二乗分布の関係

F分布とカイ二乗分布とは以下のような関係があります。

$X$と$Y$が互いに独立である確率変数$X, Y$について、$X$が自由度$n$のカイ二乗分布、確率変数$Y$が自由度$m$のカイ二乗分布に従うと仮定します。

このとき、

$F = \frac{\frac{X}{n}}{\frac{Y}{m}}$

と表される$F$が従う分布を、F分布という。

F分布とカイ二乗分布の確率密度関数

F分布とカイ二乗分布の確率密度関数の形を確認しておきましょう。

ガンマ関数・ベータ関数の性質

F分布の確率密度関数の導出には、ガンマ関数とベータ関数の性質も利用するので、ここで確認しておきます。

ガンマ関数

任意の正の実数$k$を用いて、以下のようにに表すことができる。

$\Gamma(k) = \int_0^\infty t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt$

ベータ関数

ベータ関数はガンマ関数を用いて、以下のように表すことができる。

$B(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}$

F分布の確率密度関数の導出

それぞれ自由度$n, m$のカイ二乗分布に従う確率変数$X, Y$が互いに独立であるとします。

ここで$X$と$Y$の同時確率密度関数$f(x, y)$を考えます。

$X$と$Y$が互いに独立であると仮定したので、$f(x, y)$は次のように表すことができます。

$$\begin{equation*}\begin{split} f(x, y) &= \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2^{\frac{n}{2}}}x^{\frac{n}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\frac{1}{\Gamma(\frac{m}{2})2^{\frac{m}{2}}}y^{\frac{m}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{y}{2}} \\ &= f(x) \cdot f(y) \end{split}\end{equation*}$$

$X$と$Y$の同時確率密度関数は、$X$の密度関数$f(x)$と$Y$の密度関数$f(y)$の積で表すことができます。

$f(x)$は自由度$n$のカイ二乗分布の確率密度関数であり、$f(y)$は自由度$m$のカイ二乗分布の確率密度関数です。

次に、$x$と$y$について、$z$と$w$を用いて、次のような変数変換を行います。

$z = \frac{\frac{x}{n}}{\frac{y}{m}}$

$w = y$

上記の式を$x$と$y$について解くと、

$x =\frac{n}{m}zw$

$y =w$

この変換のヤコビアンを考えると、以下のような値となります。

$\frac{\partial (x, y)}{\partial (z, w)} = \displaystyle \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} \frac{n}{m}w & \frac{n}{m}z \\ 0 & 1 \end{array} \right|  =  \displaystyle \frac{n}{m}w$

補足：ヤコビアンとは

ヤコビアン（Jacobian）は、多変数関数の微分に関する重要な概念です。特に、多変数関数が複数の変数に依存する場合に、その変数間の関係を理解するのに役立ちます。

具体的には、多変数関数が与えられたとき、その関数が各変数にどの程度の速さで変化するかを表す行列です。これは、関数の微分をベクトルや行列の形で表現する際に使われます。

ヤコビアンの要素は、各変数の偏微分によって得られます。

したがって、$z = \frac{\frac{x}{n}}{\frac{y}{m}}$の確率密度関数$f(z)$を考えると次のように表せます。

$g(z, w)$というのは、$z$と$w$の同時確率密度関数を表しています。

$$\begin{equation*}\begin{split} f(z) &= \displaystyle \int_0^\infty g(z, w) dw \\ &= \displaystyle \int_0^\infty f(x, w) \frac{\partial (x, y)}{\partial (z, w)} dw \\ &= \displaystyle \int_0^\infty f(\frac{n}{m}zw, w)\frac{n}{m}w dzdw \\ &= \displaystyle \int_0^\infty \frac{2^{-\frac{n+m}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})}(\frac{n}{m}zw)^{\frac{n}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{n}{2m}zw}w^{\frac{m}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{w}{2}}\frac{n}{m}w dw dz \\ &= \displaystyle \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}z^{\frac{n}{2}-1}}{2^{\frac{n+m}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})} \int_0^\infty w^{\frac{n+m}{2}}\mathrm{e}^{-\frac{w(nz+m)}{2m}} dw \end{split}\end{equation*}$$

同時確率密度関数$g(z, w)$を$w$について積分して、$z$の周辺確率密度関数を求めるという計算を行っています。

ここで、$t = -\frac{w(nz+m)}{2m}$と変数変換を行うと、$w$と$dw$について、以下のように表すことができます

$w = \frac{2mt}{nz+m}$

$dw = \frac{2m}{nz+m}dt$

これを利用すると、$f(z)$の5行目の式における$w$の積分式について、次のように表すことができます。

$$\begin{equation*}\begin{split} \int_0^\infty w^{\frac{n+m}{2}}\mathrm{e}^{-\frac{w(nz+m)}{2m}} dw &= \displaystyle \int_0^\infty (\frac{2mt}{nz+m})^{\frac{n+m}{2}-1}\mathrm{e}^{-t} \frac{2m}{nz+m} dt \\ &= \displaystyle (\frac{2m}{nz+m})^{\frac{n+m}{2}} \int_0^\infty t^{\frac{n+m}{2}} \mathrm{e}^{-t}dt \\ &= \displaystyle (\frac{2m}{nz+m})^{\frac{n+m}{2}} \Gamma(\frac{n+m}{2}) \end{split}\end{equation*}$$

補足

ガンマ関数の性質を用いて、$\Gamma(\frac{n+m}{2})= \int_0^\infty t^{\frac{n+m}{2}} \mathrm{e}^{-t}dt$となることを利用。

上式を代入することで、$f(z)$は最終的に以下の形に求まります。

$$\begin{equation*}\begin{split} f(z) &= \displaystyle n^{\frac{n}{2}}m^{\frac{m}{2}}\frac{\Gamma(\frac{n+m}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})}\frac{z^{\frac{n}{2}-1}}{(nz+m)^{\frac{n+m}{2}}} \\ &= \displaystyle \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{z^{\frac{n}{2}-1}}{(1+\frac{n}{m}z)^{-\frac{n+m}{2}}}\end{split}\end{equation*}$$

補足

$B(\cdot, \cdot)$はベータ関数といい、上式ではガンマ関数$\Gamma(\cdot)$を用いて、ベータ関数の性質の1つである$B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2}) = \frac{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+\frac{m}{2})}$を利用。

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