積率母関数を用いた連続一様分布の期待値（平均）と分散の導出

公式の確認

まずは、公式を確認しましょう。

連続一様分布の積率母関数の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}m_X(t)&=E(\mathrm{e}^{tX})\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{a} \mathrm{e}^{tx}f(x)dx+\displaystyle \int_{ a }^{ b } \mathrm{e}^{tx}f(x)dx+\displaystyle \int_{b}^{ \infty } \mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=0+\displaystyle \int_{ a }^{ b } \mathrm{e}^{tx}\frac{1}{b-a}dx+0\\ &=\frac{1}{b-a}\left[\frac{\mathrm{e}^tx}{t} \right]_{a}^{b}\\ &=\frac{{\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}}{t(b-a)}\end{split}\end{equation*}$$

積率母関数を用いた期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{m_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{{({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}})}'t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(t(b-a))}'}{{(t(b-a))}^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{{({a\mathrm{e}^{tb}}-{b\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}}{{(t(b-a))}^2}\right|_{t=0}\\ \end{split}\end{equation*}$$

上式にt=0を代入すると、分母が0になる。そのため、上式が定義できない。そこでロピタルの定理を用いる。

ロピタルの定理

$$\begin{equation*}\begin{split}\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a} \frac{f(x)'}{g(x)'}\end{split}\end{equation*}$$

これを前述の式に適応させると、

$$\begin{equation*}\begin{split}\left.\frac{d{m_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}&=\left.\frac{{({a\mathrm{e}^{tb}}-{b\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}}{{(t(b-a))}^2}\right|_{t=0}\\ &=\lim_{t \to 0}\frac{{({a\mathrm{e}^{tb}}-{b\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}}{{(t(b-a))}^2}\\ &=\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{g(t)}(=\lim_{t \to 0} \frac{f(t)'}{g(t)'}=\lim_{t \to 0} \frac{f(t)''}{g(t)''}) \end{split}\end{equation*}$$

これより、$$\begin{equation*}\begin{split}\lim_{t \to 0}\frac{f(t)''}{g(t)''}\end{split}\end{equation*}$$を求めることにより、平均を導出できる。以下でその過程について記述する。

$$f(t)={({b\mathrm{e}^{tb}}-{a\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}\\ \begin{equation*}\begin{split}f'(t)&={({b\mathrm{e}^{tb}}-{a\mathrm{e}^{ta}})}(b-a)+({b^{2}\mathrm{e}^{tb}}-{a^{2}\mathrm{e}^{ta}})t(b-a)-({b\mathrm{e}^{tb}}-{a\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}\\ &=({b^{2}\mathrm{e}^{tb}}-{a^{2}\mathrm{e}^{ta}})t(b-a)\\\end{split}\end{equation*}\\ f''(t)=({b^{2}\mathrm{e}^{tb}}-{a^{2}\mathrm{e}^{ta}})(b-a)-({b^{3}\mathrm{e}^{tb}}+{a^{3}\mathrm{e}^{ta}})t(b-a)\\\ g(t)={(t(b-a))}^2\\ g'(t)=2t(b-a)^2\\ g''(t)=2(b-a)^2\\\\\\$$
$$\begin{equation*}\begin{split}\lim_{t \to 0}\frac{f(t)''}{g(t)''}&=\lim_{t \to 0} \frac{({b^{2}\mathrm{e}^{tb}}-{a^{2}\mathrm{e}^{ta}})(b-a)-({b^{3}\mathrm{e}^{tb}}+{a^{3}\mathrm{e}^{ta}})t(b-a)}{2(b-a)^2}\\ &=\frac{b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}\\ &=\frac{a+b}{2}（＝\left.\frac{d{m_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}=E(X)）\end{split}\end{equation*}$$

積率母関数を用いた分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{m_X}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.(\frac{{({a\mathrm{e}^{tb}}-{b\mathrm{e}^{ta}})}t(b-a)-({\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}){(b-a)}}{{(t(b-a))}^2})'\right|_{t=0} \end{split}\end{equation*}$$

※これを前述のロピタルの定理を用いて導くことができるが、煩雑であるため省略する。連続一様分布の分散は、通常、確率密度関数から求める手法が採用される。

その値は、

$$\begin{equation*}\begin{split}V(X)=\frac{1}{12}{(b-a)}^2\end{split}\end{equation*}$$

となる。

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