確率質量関数を用いた二項分布の期待値・分散の導出

公式の確認

まずは、公式の確認をしましょう。

期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\ <em>n C</em>k p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{n {(n-1)}!}{{(n-k)}!{(k-1)}!}p p^{k-1}{(1-p)}^{n-k}\\ &=np\sum_{k=0}^{n}\frac{{(n-1)}!}{{((n-1)-(k-1))}!{(k-1)}!}p^{k-1}{(1-p)}^{n-k}\\ &=np\end{split}\end{equation*}$$

【補足】

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{{(n-1)}!}{{((n-1)-(k-1))}!{(k-1)}!}p^{k-1}{(1-p)}^{n-k}\end{split}\end{equation*}$$

この部分のn-1をn'、k-1をk'とおくと、

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{n'!}{{(n'-k')}!k'!}p^{k'}{(1-p)}^{n'-k'}\end{split}\end{equation*}$$

となる。これはパラメータがn'とk'の二項分布の確率質量関数である。よって、

$$\begin{equation*}\begin{split}\sum_{k=0}^{n}\frac{{(n-1)}!}{{((n-1)-(k-1))}!{(k-1)}!}p^{k-1}{(1-p)}^{n-k}\end{split}\end{equation*}$$

は確率質量関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、１である。

（ある事象における全ての確率を足すと１になることと同義）

分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\sum_{k=0}^{n}k^2P(X=k)\\ &=\sum_{k=0}^{n}k^2\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k^2\ <em>n C</em>k p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}(k(k-1)+k)\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}+\sum_{k=0}^{n}k\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}\end{split}\end{equation*}$$

【補足】

$$\begin{equation*}\begin{split}\\\sum_{k=0}^{n}k\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}\end{split}\end{equation*}$$

これは、先ほど導出した二項分布の期待値であるため、npとなる。

$$\begin{equation*}\begin{split}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{{(n-k)}!(k-2)!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}+np\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)!}{{(n-k)}!(k-2)!}p^2p^{k-2}{(1-p)}^{n-k}+np\\ &=n(n-1)p^2\sum_{k=0}^{n}\frac{(n-2)!}{{((n-2)-(k-2))}!(k-2)!}p^{k-2}{(1-p)}^{n-k}+np\\ &=n(n-1)p^2+np\end{split}\end{equation*}$$

【補足】

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{{(n-2)}!}{{((n-2)-(k-2))}!{(k-2)}!}p^{k-2}{(1-p)}^{n-k}\end{split}\end{equation*}$$

この部分のn-2をn'、k-2をk'とおくと、

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{n'!}{{(n'-k')}!k'!}p^{k'}{(1-p)}^{n'-k'}\end{split}\end{equation*}$$

となる。これはパラメータがn'とk'の二項分布の確率質量関数である。よって、

$$\begin{equation*}\begin{split}\sum_{k=0}^{n}\frac{{(n-2)}!}{{((n-2)-(k-2))}!{(k-2)}!}p^{k-2}{(1-p)}^{n-k}\end{split}\end{equation*}$$

は確率質量関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、１である。

（ある事象における全ての確率を足すと１になることと同義）

$$\begin{equation*}\begin{split}V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=n(n-1)p^2+np-{(np)}^2\\ &=np(1-p) \end{split}\end{equation*}$$

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