1次ARモデルの特徴や統計量について

1次ARモデルの定常性

まずは1次ARモデルの定常性について考えていきましょう。

１次ARモデル式は次のように表されます。

$y_t = \phi_0 + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t$

$\varepsilon_t$は$E(\varepsilon_t) = 0$ , $V(\varepsilon_t) = \sigma^2$のホワイトノイズとする

定常性を持つ1次ARモデル

モデルの定常性について考える前に、以下の式で表される1次ARモデルについて$y_t$の値を計算してみましょう。

$y_t = 2 + 0.5y_{t-1} + \varepsilon_t$ ... ①

$\varepsilon_t$の分散は$1$、$y_0 = 3 , 　\varepsilon_1 = 1.3, 　\varepsilon_2 = 0.8, 　\varepsilon_3 = -1.6 , 　\varepsilon_4 = 0.3$とする。

この時、$y_1 , y_2, y_3, y_4$がどのような値をとるか考えます。

まず$y_1$について計算してみましょう。

式①に$y_0 = 3,  \varepsilon_1 = 1.3$を代入すると、$y_1 = 2 + 0.5\times3 + 1.3 = 4.8$と求めることができます。

同様に、$y_2 = 5.2$,  $y_3 = 3$, $y_4 = 3.8$と求めることができます。

実際に計算すると、式①の$y_t$は発散しないであろうことが分かります。このような時、$y_t$は定常性を持ちます。

発散する1次ARモデル

では、1次ARモデルはいつも定常性を持つのでしょうか。式①を変形した以下の1次ARモデルについて見てみましょう。

$y_t = 2 + 2y_{t-1} + \varepsilon_t$ ... ②

$\varepsilon_t$の分散は$1$、$y_0 = 3 , 　\varepsilon_1 = 1.3, 　\varepsilon_2 = 0.8, 　\varepsilon_3 = -1.6 , 　\varepsilon_4 = 0.3$とする。

式②では$\phi_1$を$2$としました。この時$y_1 , y_2, y_3, y_4$がどのような値をとるか考えてみましょう。

計算すると、$y_1 = 9.3$,$y_2 = 21.4$,  $y_3 =  43.2$, $y_4 = 88.7$となります。

式②の$y_t$はどんどん大きくなっており、定常性を持つとは言えません。

1次ARモデルの定常条件

1次ARモデルが定常性を持つための条件は以下の通りです。

$| \phi_1 | \lt 1$の時、1次ARモデルは定常性を持つ。

$| \phi_1 | \geq 1$の時、1次ARモデルの$y_t$は発散する。

1次ARモデルの統計量

1次ARモデルの統計量について考えてみましょう。

$y_t = \phi_0 + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t$ ... ③

$E(\varepsilon_t) = 0$ , $V(\varepsilon_t) = \sigma^2$、$| \phi_1 | \lt 1$とする。

期待値

式③における$y_t$の期待値について考えます。

$| \phi_1 | \lt 1$であるため式③は定常性を持つと分かります。

定常であるとき、$y_t$は期待値、自己相関を持ちます。

それでは、$y_t$の期待値を計算していきましょう。

$y_t$の期待値を求めるためにまず式③の両辺の期待値を取ります。

$E[y_t] = E[\phi_0 + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t] = \phi_0 + \phi_1E[y_{t-1}]$ 

定常のとき$E[y_t] = E[y_{t-1}]$であることを考えると、期待値は以下のようになります。

$E[y_t] =\displaystyle \frac{ \phi_0 }{ 1-\phi_1 }$

分散

$y_t$の分散、$V[y_t]$を求めます。

そのために式③の両辺の分散を取ります。

$V[y_t] = V[\phi_0 + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t] = V[\phi_1y_{t-1}] + V[\varepsilon_t]$

 $V[\varepsilon_t] = \sigma^2$であるから

$V[y_t] = \phi_1^2V[y_{t-1}] + \sigma^2$と変形することができます。

定常のとき、$V[y_t] = V[y_{t-1}]$であることを考えると、分散は以下のようになります。

$V[y_t] = \displaystyle \frac{ \sigma^2 }{ 1-\phi_1^2 }$

自己共分散

次に$j$次の自己共分散$\gamma_j$について考えていきましょう。

 $\gamma_j = Cov[ y_t  , \ y_{t-j} ]$ ... ④

$y_t = \phi_0 + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t$を式④に代入すると

$\gamma_j = Cov[\phi_0 + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t  , \ y_{t-j}]$

$Cov[y_{t-{t-j}}  , \ \varepsilon_t] = 0$だから

$\gamma_j = \phi_1Cov[y_{t-1}  , \ y_{t-j}]  = \phi_1\gamma_{j-1}$と分かります。

$\gamma_0 =  Var[y_t] = \displaystyle \frac{ \sigma^2 }{ 1-\phi_1^2 }$であることを考えると

$\gamma_j = \phi_1\gamma_{j-1} = \phi_1^2\gamma_{j-2} = \cdots =  \displaystyle\frac{ \sigma^2 }{ 1-\phi_1^2 } \phi_1^j$と求めることができます。

自己相関

分散$V[y_t] = \displaystyle \frac{ \sigma^2 }{ 1-\phi_1^2 }$、自己共分散$\gamma_j = \displaystyle \frac{\sigma^2 }{ 1-\phi_1^2 } \phi_1^j$と求めることができました。

これらを用いて自己相関$p_j$と求めます。

$p_j = \displaystyle \frac{ \gamma_j }{ \gamma_o } = \phi_1^j$

と自己相関を求めることができます。

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