定常性とホワイトノイズを分かりやすく解説

定常性とは

時間によらず期待値、自己共分散が一定であるような時系列データの性質を定常性といいます。また、定常性を持つ確率過程のことを定常過程と呼びます。

多くの場合、データに定常性を仮定し分析を簡単する目的で用いられます。

定常性を仮定するとは、時系列データの期待値や自己共分散を一定とみなすことです。こうすることで時系列データの複雑な条件を無視することができます。

もちろん時系列データの多くは定常性を満たしていません。しかし、期待値や自己共分散が一定とすると分析するうえで都合がいいのです。

定常性を満たさない時系列データを扱う場合、データの差分や対数をとるなどして定常性を満たすように処理をすることがあります。

時系列データの扱い方は「時系列分析の基礎と代表的モデル」をご確認ください。

それでは、数式を見ながら定常性についての理解を深めていきましょう。

どんな時点$t$、時間差$j$についても以下2つの式が成立する確率過程は定常性を持つと言えます。

$E(y_t) = \mu$ ... ①

$Cov(y_t, y_{t-j}) = \gamma_j$ ... ②

①の式は、どの時点$t$に対しても$y$の期待値が常に$\mu$を取るということを意味しています。期待値が一定であるということが分かります。

②の式は、時点$t$における$j$次の自己共分散が$\gamma_j$という形で表現されています。時点$t$によらず$j$次の自己共分散が常に一定であるということが分かります。

時系列データの同時分布を求める定常性

平均・自己共分散・自己相関は得られたデータから推定することができますが、時系列データでは分布が変化する困難さがあります。

例えば、上昇トレンドがある時系列データでは、観測期間全体の平均を求めても意義が薄いです。

変数が複数あるとき、その同時分布から平均や共分散が求めるように、時系列データでも$y1,…,yt,…$の同時分布を求める必要があります。

強定常

時系列の分布が任意の $k,l$に対して次式を満たす時、その時系列は強定常であるといいます。

$f(y_t, \dots, y_{t+l}) = f(y_{t+k},\dots, y_{t+k+l})$

時系列に対して任意の長さ l の同時分布を考えたとき、それを好きなだけ（任意の k だけ）ずらした同時分布も変わらないということを意味します。

弱定常

平均・分散・自己共分散が時点 t に関わらず一定であるような時系列を弱定常であるといいます。

具体的には、以下の3つの条件を満たす場合、その時系列を弱定常であるといいます。

1. 平均が $t$ に依存せず一定: $E(yt)=μ$
2. 分散が $t$ に依存せず一定: $Var(yt)=σ2$
3. 自己共分散が $t$ に依存せず、ラグ $k$によってのみ定まる: $Cov(yt,yt−k)=Ck$

時系列が弱定常であることを単に「定常」であると言います。

非定常

弱定常でない時系列のことを「非定常」であるといいます。

ホワイトノイズ

定常な時系列の例として、ホワイトノイズを紹介します。 ホワイトノイズとは、次式$s$のような性質をもつ時系列として定義されます。

${\rm E}(y_t) = 0$
${\rm Cov}(y_t, y_{t-k}) =\begin{cases}\sigma^2 & (k=0)\\0 &(k \neq 0)\end{cases}$

 時点$t$によらず平均が0でかつ分散が一定であり、同時点以外での自己共分散をもちません。

特に、 $y_t$が正規分布に従い、$y_t∼N(0,σ2)$であるようなホワイトノイズは正規ホワイトノイズと呼ばれます。

ホワイトノイズの利用方法

ホワイトノイズが期待値$0$、分散$\sigma^2$を持ち、自己相関を持たない定常過程であるということについて説明しました。

ここでは、ホワイトノイズがどのように用いられているか確認しましょう。

攪乱項としてのホワイトノイズ

ホワイトノイズは時系列モデルを表すときの確率的なバラツキを表すために用いられます。例えば、株価のチャートは確率的なバラツキを持つためギザギザしたチャートを描きますね。

時系列モデルにおいてバラツキを表すホワイトノイズを攪乱項とよびます。

AR(1)モデルの式を見てみましょう。ホワイトノイズがバラツキを表現していることが分かります。

 $y_t = c + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t$

 もちろん、ARモデル以外の時系列モデルでもホワイトノイズは攪乱項としての役割を果たします。

MAモデルにおけるホワイトノイズ

ARモデルでは攪乱項としてホワイトノイズが用いらていましたが、MAモデルではホワイトノイズが重要な役割を果たします。

今回はMA(1)モデルを例にとって考えましょう。MA(1)モデルは以下の式で表されます。

 $y_t = \theta_0 + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1}$

 上記の式を見ると$y_t$は時点$t$、$t-1$におけるホワイトノイズの加重和と定数項で表現されていることが分かります。

今回は$1$次のMAモデルについて考えてみましたが、$j$次のMAモデルも時点$t$から$t-j$までのホワイトノイズの線形和で表現できます。

MAモデルの式を見ると、確かにホワイトノイズが重要な概念であるということが分かります。