Z検定とは？正規分布の母平均の検定手順を解説

2024.3.22

2024.5.17

仮説検定

ここでは、母分散が既知の正規分布の母平均に関する仮説検定（Z検定）について解説します。

Z検定とは
両側検定の手順
片側検定の手順
Z検定の例題
母分散が未知の場合はどうするのか

Z検定とは

Z検定とは、母分散が既知の正規分布の場合に実施する仮説検定です。

以降の説明で必要になる前提条件を記載します。

前提条件
標本 $x_1,x_2,...x_n$ が互いに独立に正規分布 $N(μ,σ^2)$ に従うことを仮定する。
この検定では下記を既知な値とします。
・母分散 $σ^2$
・帰無仮説による母平均 $μ_0$
・標本平均 $\bar{x}$
・標本数 $n$

また、両側検定・片側検定について知りたい場合は「片側検定と両側検定の違いをわかりやすく解説」をご確認ください。

両側検定の手順

帰無仮説と対立仮説を以下のように設定します。

帰無仮説 $H_0$ : $μ = μ_0$
対立仮説 $H_1$ : $μ ≠ μ_0$

次に、正規分布の標準化します。

今回は母平均に関する仮説検定を行うので、検定統計量は標本平均 $\bar{x}$ を使います。

帰無仮説 $H_0$ の下で $\bar{x}$ ~ $N(μ_0,\frac{σ^2}{n})$ となるので、

$z = \frac{\bar{x}-μ_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}} ～N(0,1)$

有意水準を5%とすると、標準正規分布表より、

P(|z|≧1.96) = 0.05

よって、zの絶対値である|z|が1.96より大きいとき帰無仮説 $H_0$ を棄却します。

有意水準を1%とすると、標準正規分布表より、

P(|z|≧2.58) = 0.01

zの絶対値である|z|が2.58より大きいとき帰無仮説 $H_0$ を棄却します。

まとめると、標本平均 $\bar{x}$ に関して、次の棄却域が得られます。

有意水準5%ならば $|\bar{x}-μ_0|≧1.96\frac{σ}{\sqrt{n}}$

有意水準1％ならば $|\bar{x}-μ_0|≧2.58\frac{σ}{\sqrt{n}}$

片側検定の手順

帰無仮説と対立仮説を以下のように設定します。

帰無仮説 $H_0$ : $μ = μ_0$
対立仮説 $H_1$ : $μ \gt μ_0$ 　または　 $H_1$ : $μ \lt μ_0$

対立仮説は２通りありますが、どちらも手順は同じなので、ここでは $μ \gt μ_0$ の場合について解説します。

標準化を行うと帰無仮説 $H_0$ の下で

$z = \frac{\bar{x}-μ_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}} ～N(0,1)$

となります。

もし、対立仮説のが正しければ、 $\bar{x}$ は帰無仮説の場合よりも大きな値を取る確率が高くなります。

棄却域は、帰無仮説の下で $\bar{x}$ が大きな値を取る確率が有意水準αとなるように定めます。

有意水準を5%とすると、標準正規分布表より、

P(z≧1.645) = 0.05

有意水準を1%とすると、標準正規分布表より、

P(z≧2.33) = 0.01

まとめると、標本平均 $\bar{x}$ に関して、次の棄却域が得られます。

有意水準5%ならば $\bar{x}-μ_0≧1.645\frac{σ}{\sqrt{n}}$

有意水準1％ならば $\bar{x}-μ_0≧2.33\frac{σ}{\sqrt{n}}$

Z検定の例題

例題を通してZ検定の手順を考えましょう。

A高校の入学試験は毎年6000人の人が受験する。過去の入試の結果は平均400点、標準偏差120の正規分布に従う。
今年の入学試験も例年同様6000人の人が受験し、採点官の田中さんが採点した45人の平均点は $\bar{x}$ =440点、標準偏差は $\hat{σ}$ = 90であった。
この結果から志願者の学力は向上していると言えるだろうか。有意水準5%、1%それぞれで検定した結果を考えましょう。