正規分布を標準化して標準正規分布にする方法

標準化とは（Standardization）

正規分布を標準正規分布に変形する操作を標準化といいます。

観測したデータ群を「平均0、分散1」になるように変換します。標準化の考え方は偏差値の算出にも用いられています。

標準化と標準正規分布の式

確率変数$X$が正規分布$N(μ,σ^2)$に従うとき、

$Z = \frac{X-μ}{σ}$

と変換すると、$Z$は標準正規分布$N(0,1)$（平均0,分散1）に従います。

標準正規分布の確率密度関数

$f(X) = \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}$

計算例

【例題】

とある大学の男子について身長を調査したところ、平均身長170cm、標準偏差7の正規分布に従うことが分かった。では、身長165cm～175cmの人の数は全体の何％占めるか？

身長の確率変数をXと置く。平均170、標準偏差7なので、Xを標準化すると以下にようになる。

$Z = \frac{X-170}{7}$

よって、

$165≦X≦175$

$\frac{165-170}{7}≦Z≦\frac{175-170}{7}$

$-0.71≦Z≦0.71$

であるので、

標準正規分布が-0.71～0.71の値を取る確率が答えとなる。

これは標準正規分布表より、0.5223と分かるので、身長165cm～175cmの人の数は全体の52.23%である。

標準化の式の証明

標準化の式を証明します。

正規分布の性質に以下のようなものがあります。

確率変数$X$が正規分布$N(μ,σ^2)$に従うとき、$aX+b$は正規分布$N(aμ+b,a^2σ^2)$に従う。

上記の性質において、

$a = \frac{1}{σ}$

$b= -\frac{μ}{σ}$

とおくと、

$N(aμ+b,a^2σ^2) =　N(0,1)$

となるので、標準正規分布に従う。また、このとき

$aX+b = \frac{X-μ}{σ}$

となる。よって

$Z = \frac{X-μ}{σ}$

は標準正規分布に従う。

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