確率密度関数を用いた正規分布の期待値（平均）と分散の導出

公式の確認

まずは、公式の確認をしましょう。

期待値（平均）の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (x-\mu+\mu)f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (x-\mu)\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}dx+\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } \mu f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (\frac{x-\mu}{\sigma})\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma})}^2]} dx+\mu\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } (\frac{x-\mu}{\sigma})\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma})}^2]} \sigma\frac{dx}{\sigma}+\mu\end{split}\end{equation*}$$

ここで$y=\frac{x-\mu}{\sigma}$とおくと

$\frac{ \mathrm{ d } y }{ \mathrm{ d } x }=\frac{1}{\sigma}　⇆　\mathrm{d}y=\frac{1}{\sigma}\mathrm{d}x$

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } y\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{y}^2]} \sigma dy+\mu\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } -\frac{\sigma}{\sqrt{2π}}{(-\frac{1}{2} {y}^{2})}'\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}{y}^2} dy+\mu\\ &=\left[- \frac{\sigma}{\sqrt{2π}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} {y}^{2}} \right]_{-\infty}^{\infty}+\mu\\ &=\mu \end{split}\end{equation*}$$

分散の導出

分散を$V[X] = E(X^2) - [E(X)]^2$ で算出するために、$[E(X)]^2$を求めていきましょう。（分散についての復習はこちら）

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\{{(x-\mu)}^2+2\mu x-{\mu}^2\}\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }{(x-\mu)}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx+2\mu\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx-{\mu}^2\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }{(x-\mu)}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx+{\mu}^2\end{split}\end{equation*}$$

【Point①】

$\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx$は正規分布の期待値であるため、μ である。

【Point②】

$\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx$は正規分布の確率密度関数を確率変数のとりうる値で積分しているため１となる。

$\ y=\frac{(x-\mu )}{σ}$とおく。$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{σ}⇄σdy=dx$

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }{σ^{2}}{y^{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y^2}σdy+{\mu}^{2}\\ &=\frac{σ^2}{\sqrt{2\pi }}\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }y^{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y^2}dy+{\mu}^2\\ &=σ^2\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy+{\mu }^2\\ &=σ^2+\mu^2\end{split}\end{equation*}$$

【Point③】

$$\begin{equation*}\begin{split}\int_{-\infty}^{\infty} y^{2} e^{-\frac{1}{2}y^2} \, dy &= \int_{-\infty}^{\infty} -y \left(e^{-\frac{y^2}{2}}\right)' \, dy \\&= \left[-y e^{-\frac{y^2}{2}}\right]_{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} \, dy \\&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} \, dy\end{split}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}\begin{split}V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^{2}\\ &={\sigma}^{2}+{\mu}^{2}-{\mu}^{2}\\ &={\sigma}^{2} \end{split}\end{equation*}$$

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