n次ARモデルの特徴や統計量について

n次ARモデルとは

$n$次ARモデルは次のように表されます。ある時点のデータ$y_{t}$に対して$n$時点前までのデータ$y_{t-n}$がモデルに用いられていることが分かります。

$y_{t} = \phi_{0} + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \cdots + \phi_{n}y_{t-n} + \epsilon_{t}$ ... ①

ただし$\epsilon_{t}$は分散$\sigma^2$のホワイトノイズとする。

$n$次ARモデルを考えることで、$n$時点前までのデータを用いた分析が可能になります。

n次ARモデルの統計量

n次ARモデルの期待値

定常性を持つ$n$次ARモデルは期待値、自己共分散を持ちます。そのため以下では定常な$n$次ARモデルについて考えます。

$y_{t} = \phi_{0} + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \cdots + \phi_{n}y_{t-n} + \epsilon_{t}$

上記の$n$次ARモデルの両辺に対して期待値をとると以下のように表すことができます。

$E[y_{t}] = E[\phi_{0}] + E[\phi_{1}y_{t-1}] + E[\phi_{2}y_{t-2}] + \cdots + E[\phi_{n}y_{t-n}] + E[\epsilon_{t}]$

モデルが定常であるとき、どんな$t$ に対して$E[y_{t}] =  \mu$、また$E[\epsilon_{t}] = 0$であることを用いると、期待値$E[y_{t}]$は次のようになります。

$$\begin{equation*}\begin{split} E[y_{t}] &= \phi_{0} + \phi_{1}E[y_{t}] + \phi_{2}E[y_{t}] + \cdots + \phi_{n}E[y_{t}] \\  &=  \displaystyle \frac{ \phi_{0} }{ 1 - \phi_{1} - \phi_{2}  - \cdots - \phi_{n} } \end{split}\end{equation*}$$

$n$次ARモデルの自己共分散

まず$n$次ARモデルの分散$V[y_{t}]$を求めてみましょう。期待値と同じように$n$次ARモデルの式①から分散$V[y_{t}]$を考えます。

 $y_{t} = \phi_{0} + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \cdots + \phi_{n}y_{t-n} + \epsilon_{t}$

上記の式の両辺の分散をとります。

$$\begin{equation*}\begin{split} V[y_{t}] &= V[\phi_{1}y_{t-1}] + V[\phi_{2}y_{t-2}] + \cdots + V[\phi_{n}y_{t-n}] + V[\epsilon_{t}] \\ &= \phi_{1}^2V[y_{t-1}] + \phi_{2}^2V[y_{t-2}] + \cdots + \phi_{n}^2V[y_{t-n}]  + \sigma^2 \end{split}\end{equation*}$$

定常であるとき、どんな$t$に対しても$V[y_{t}] = \gamma_0$であるから、分散は以下のようになります。

$V[y_{t}] = \displaystyle \frac{ \sigma^2 }{ 1- \phi_{1}^2 - \phi_{2}^2 - \cdots - \phi_{n}^2 }$ ... ②

次に$j$次自己共分散$\gamma_j$を求めます。

$$\begin{equation*}\begin{split} \gamma_j = Cov[y_{t}, y_{t - j}] &= Cov[ \phi_{0} + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \cdots + \phi_{n}y_{t-n} + \epsilon_{t} ,  y_{t - j}] \\  &= \phi_{1}Cov[y_{t-1},y_{t-j}] + \phi_{2}Cov[y_{t-2},y_{t-j}] + \cdots + \phi_{n}Cov[y_{t-n},y_{t-j}] \\ &= \phi_{1}\gamma_{j-1} + \phi_{2}\gamma_{j-2} + \cdots + \phi_{n}\gamma_{j-n} \end{split}\end{equation*}$$

$n$次ARモデルの自己相関

$j$次自己相関を求めてみましょう。

$\gamma_j = \phi_{1}\gamma_{j-1} + \phi_{2}\gamma_{j-2} + \cdots + \phi_{n}\gamma_{j-n}$

 両辺を$y_{t}$の分散$\gamma_0$で割ると

$p_j = \phi_{1}p_{j-1} + \phi_{2}p_{j-2} + \cdots + \phi_{n}p_{j-n}$

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