余因子行列を用いた逆行列の求め方を例題で解説

余因子行列を用いた逆行列の求め方

以下の公式を用いて余因子行列と行列式を求めることで、逆行列を計算できます。

余因子行列を用いて逆行列を表す公式

行列$A \neq 0$のとき、行列$A$の逆行列$A^{-1}$は、

$A^{-1} = \frac{ 1 }{ | A | } \tilde{ A }$

となる。

例題

例題で、余因子行列で逆行列を求めてみましょう。

例題

行列$A =  \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 &2 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$のとき、逆行列$A^{-1}$を求めよ。

解答は以下の通りです。

行列式$|A|$をサラスの公式を用いて求めます(余因子展開で求めることもできます)。

$|A| = 2×2×1+0×2×4+1×0×1-1×2×4-2×0×2-0×1×1$

$=-4$

次に$\tilde{ A }$を求めます。

行列$A$に対する$(i,j)$余因子をすべて求めます。

$\begin{pmatrix} (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} &  (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} &  (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}\\  (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} &  (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} & (-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 0 \end{vmatrix}  \\ (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & (-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & (-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}                         \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}    2&7&-8 \\ 0&-2&0 \\ -2&-3&4            \end{pmatrix}$

これを転置することで$\tilde{ A }$を求めることができます。

$\tilde{ A } = \begin{pmatrix}   2&0&-2 \\  7&-2&-3 \\ -8&0&4            \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{ 1 }{ | A | } \tilde{ A }$より、

$A^{-1} = \frac{ 1 }{ | -4 | }\begin{pmatrix}   2&0&-2 \\  7&-2&-3 \\ -8&0&4            \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix}   -\frac{ 1 }{ 2 }&0&\frac{ 1 }{ 2 } \\ -\frac{ 7 }{ 4 }&\frac{ 1 }{ 2 }&\frac{ 3 }{ 4 } \\ 2&0&-1            \end{pmatrix}$

となります。

よって行列$A$の逆行列は$\begin{pmatrix}   -\frac{ 1 }{ 2 }&0&\frac{ 1 }{ 2 } \\ -\frac{ 7 }{ 4 }&\frac{ 1 }{ 2 }&\frac{ 3 }{ 4 } \\ 2&0&-1            \end{pmatrix}$となります。

関連記事

逆行列とは

余因子・余因子行列の求め方を例題で解説

掃き出し法を用いた逆行列の求め方を例題で解説