幾何分布とは？期待値と分散の導出も解説

幾何分布とは（geometric distribution）

幾何分布とは、成功確率$p$のベルヌーイ試行を、初めて成功するまで繰り返した時の試行回数$x$の確率分布です。

幾何分布の公式

幾何分布の確率関数や期待値・分散の公式は以下となります。

幾何分布の期待値の導出

$E[x]=\sum_{x=1}^\infty xp(1-p)^{x-1}=p\sum_{x=1}^\infty x(1-p)^{x-1}$

ここからは$\sum$ から先について求めていきます。ここで$\frac{1}{1-x}$のマクローリン展開を考えると、

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty} x^k$

これを両辺$x$で微分すると、

$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}$

ここで上の式に$x=1-p,k=x$を代入すると右辺は、

$\sum_{x=1}^\infty x(1-p)^{x-1}$

となって最初の式の$\sum$以降の式と一致します。

よって、期待値は

$E[x]=p\times \frac{1}{(1-(1-p))^2}=\frac{1}{p}$

幾何分布の分散の導出

次に分散を求めます。

分散を求めるには$V[x]=E[x^2]-{E[x]}^2$を利用します。

先ほど求めた、

$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}$

この式をもう一度微分すると、

$\frac{2}{(1-x)^3}=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)x^{k-2}$

この式に両辺$x$をかけて、先ほどのように$x=1-p,k=x$を代入すると、

$\sum x(x-1)(1-p)^{x-1}=\frac{2(1-p)}{p^3}$

よって、階乗モーメント$E[x(x-1)]$は,

$E[x(x-1)]=p\sum x(x-1)(1-p)^{x-1}=\frac{2(1-p)}{p^2}$

したがって、分散は

$V[x]=E[x^2]-{E[x]}^2=E[x(x-1)]+E[x]-{E[x]}^2=\frac{2(1-p)}{p^2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$