ガンマ分布とは

ガンマ分布とは（Gamma distribution）

ガンマ分布は非負の連続確率分布であり、パラメータ$k$と$θ$を持ちます。

ガンマ関数の確率密度関数

ガンマ関数の確率密度関数は次のように表されます。

$f(x)=\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}$

$\Gamma(k)$はガンマ関数と呼ばれる関数で、実数$k$に対する積分を表す特殊な関数です。

一般に、ガンマ関数には以下のような性質があります。

ガンマ関数の性質

$\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt$

$\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)$

$\Gamma(k+1) = k!$

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

また、$k=1$のとき、ガンマ分布の確率密度関数は指数分布の確率密度関数に一致することが知られています。

ガンマ関数の積率母関数

ガンマ関数の積率母関数は以下のように表されます。

$M_{X}(t)={(\frac{1}{1- \theta t})}^{k}$

ガンマ関数の積率母関数の導出は、「積率母関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出」をご確認ください。

ガンマ関数の期待値と分散

ガンマ関数の期待値と分散は以下のように表されます。

期待値と分散の導出については、以下のページも併せてご確認ください。

積率母関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出

確率密度関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出

ポアソン分布との関係

ガンマ分布は、ポアソン分布の共役事前分布です。

共役事前分布については、「共役事前分布を分かりやすく解説」をご確認ください。