確率密度関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出

ガンマ分布の公式の確認

まずは、ガンマ分布の公式を確認しましょう。

ガンマ関数の性質の確認

期待値・分散の導出にあたってガンマ関数の性質を利用するので、ここで確認しておきましょう。

ガンマ関数の性質

$\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt$

$\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)$

$\Gamma(k+1) = k!$

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }xf(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}\Gamma(k+1)\theta^{-1} \theta^{k+1}}dx\end{split}\end{equation*}$$

ここで、$\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)$というガンマ関数の性質を使うと、

$\Gamma(k)=\frac{\Gamma(k+1)}{k}$

$$\ \ \begin{equation*}\begin{split}&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k \theta x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+1)\theta^{k+1}}dx\\ &=k \theta\end{split}\end{equation*}$$

補足

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+1) \theta^{k+1}}\end{split}\end{equation*}$$

この式の$k+1$の部分を$k'$と置くと、

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k') \theta^{k'}}\end{split}\end{equation*}$$

となる。

これはパラメータ（母数）が$k'$のガンマ分布の確率密度関数である。

そのため、

$$\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k')\theta^{k'}}dx=1\end{split}\end{equation*}$$

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため１である。

分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2} \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}\Gamma(k+1)\theta^{-1} \theta^{k+1}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}{(k+1)}^{-1}\Gamma(k+2)\theta^{-2} \theta^{k+2}}dx\end{split}\end{equation*}$$

ここで、$\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)$というガンマ関数の性質を使うと、

$$\begin{equation*}\begin{split}\Gamma(k)&=\frac{\Gamma(k+1)}{k}\\ &=\frac{\Gamma(k+2)}{k(k+1)}\end{split}\end{equation*}$$

$$\ \ \begin{equation*}\begin{split}&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k(k+1) \theta^{2}x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+2) \theta^{k+2}}dx\\ &=k(k+1) \theta^{2}\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=k(k+1) \theta^{2}-{(k \theta)}^2\\ &=k{\theta}^2\end{split}\end{equation*}$$

補足

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+2) \theta^{k+2}}\end{split}\end{equation*}$$

この式の$k+2$の部分を$k'$と置くと、

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k') \theta^{k'}}\end{split}\end{equation*}$$

となる。これはパラメータ（母数）が$k'$のガンマ分布の確率密度関数である。そのため、

$$\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k')-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k')\theta^{k'}}dx=1\end{split}\end{equation*}$$

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため１である。

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