積率母関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出

ガンマ分布の公式の確認

まずは、ガンマ分布の公式を確認しましょう。

ガンマ関数の性質の確認

期待値・分散の導出にあたってガンマ関数の性質を利用するので、ここで確認しておきましょう。

ガンマ関数の性質

$\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt$

$\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)$

$\Gamma(k+1) = k!$

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

積率母関数の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}M_{X}(t)&=E(\mathrm{e}^{tX})\\&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx} \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}+tx}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-\theta t}{\theta}})x}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-\theta t}{\theta}})x}}{\Gamma(k){(1- \theta t)}^{k} {(\frac{\theta}{1- \theta t})}^{k}}dx\\ &={(1- \theta t)}^{-k} \displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1+\theta t}{\theta}})x}}{\Gamma(k) {(\frac{\theta}{1+ \theta t})}^{k}}dx\\ &={(\frac{1}{1- \theta t})}^{k}\end{split}\end{equation*}$$

補足

$$\begin{equation*}\begin{split} \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-\theta t}{\theta}})x}}{\Gamma(k) {(\frac{\theta}{1- \theta t})}^{k}}\end{split}\end{equation*}$$

この式の$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{\theta}{1- \theta t}\end{split}\end{equation*}$$を$\theta '$とすると、

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta '}}}{\Gamma(k)\theta '^{k}}\end{split}\end{equation*}$$

となる。

これはパラメータ（尺度母数）が$\theta$'のガンマ分布の確率密度関数である。

そのため、

$$\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta '}}}{\Gamma(k)\theta '^{k}}dx=1\end{split}\end{equation*}$$

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため１である。

（ある事象における全ての確率を足すと１になることと同義）

期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{M_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=\left.k {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k-1} {(\frac{1}{1- \theta t})}'\right|_{t=0}\\ &=\left.k {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k-1} \frac{\theta}{{(1- \theta t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.k \theta {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k+1}\right|_{t=0}\\ &=k \theta\end{split}\end{equation*}$$

分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{M_X}(t)}{d{t}^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.{(k \theta {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k+1})}'\right|_{t=0}\\ &=\left.k(k+1) \theta {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k} {(\frac{1}{1- \theta t})}'\right|_{t=0}\\ &=\left.k(k+1) \theta {(\frac{1}{1- \theta t})}^{k} \frac{\theta}{{(1- \theta t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=k(k+1){\theta}^2\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=k(k+1) \theta^{2}-{(k \theta)}^2\\ &=k{\theta}^2\end{split}\end{equation*}$$

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