確率密度関数を用いたF分布の期待値と分散の導出

F分布の公式の確認

F分布の公式を確認しましょう。

ベータ関数とガンマ関数の確認

導出過程で利用するベータ関数とガンマ関数について確認しましょう。

ベータ関数の定義

$B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1} dt$

ガンマ関数の性質

$\Gamma(a+1) = a \Gamma(a)$

ベータ関数とガンマ関数の関係

$B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$

期待値の導出

まずは$Z$の期待値$E(Z)$を求めます。連続型確率変数の場合の期待値の定義より、次のように求められます。

$$\begin{equation*}\begin{split}  E(Z) &= \displaystyle \int_0^\infty z f(z) dz \\ &= \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^\infty \frac{z^{\frac{n}{2}}}{(1+\frac{n}{m}z)^{\frac{n+m}{2}}} dz \end{split}\end{equation*}$$

ここで、$\frac{1}{1+\frac{n}{m}z} = u$とおくと

$z = \frac{m}{n}(u^{-1} - 1)$

上式を$u$について微分すると

$\frac{dz}{du} = -\frac{m}{n}u^{-2}$

となります。

上記を$E(Z)$の式に代入すると

$$\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &= \displaystyle \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_1^0 (\frac{m}{n}(u^{-1} - 1))^{\frac{n}{2}} u^{\frac{n+m}{2}} (-\frac{m}{n}u^{-2}) du \\ &=  \displaystyle \frac{\frac{m}{n}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^1 (u^{-1} - 1)^{\frac{n}{2}} u^{\frac{n+m}{2} - 2} du \\ &= \displaystyle \frac{\frac{m}{n}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^1 (1-u)^{\frac{n}{2}} u^{\frac{m}{2} - 2} du \end{split}\end{equation*}$$

ここで、3行目の$u$の積分式について、次のように変形を行うことができます。

$$\begin{equation*}\begin{split} \int_0^1 (1-u)^{\frac{n}{2}} u^{\frac{m}{2} - 2} du &= \displaystyle \int_0^1 u^{\frac{m}{2}-1-1} (1-u)^{\frac{n}{2}+1-1} du \\ &= \displaystyle B(\frac{m}{2}-1, \frac{n}{2}+1) \end{split}\end{equation*}$$

ベータ関数の定義と一致すると言えるので、

$E(Z) = \frac{\frac{m}{n}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} B(\frac{m}{2}-1, \frac{n}{2}+1)$

さらに、ベータ関数とガンマ関数の関係式より

$E(Z) = \frac{\frac{m}{n}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2}-1)\Gamma(\frac{n}{2}+1)}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})}$

最後にガンマ関数の性質を用いて、

$$\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &= \displaystyle \frac{\frac{m}{n}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{\frac{1}{\frac{m}{2}-1}\Gamma(\frac{m}{2})\frac{n}{2}\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m}{m-2} \frac{1}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m}{m-2} \frac{\Gamma(\frac{n}{2}+\frac{m}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m}{m-2} \end{split}\end{equation*}$$

分散の導出

次に$Z$の分散を求めます。分散の性質より、

$V(Z) = E(Z^2) - E(Z)^2$

$E(Z)$は期待値の導出過程で求めたので、$E(Z^2)$を求めます。

$$\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &= \displaystyle  \int_{-\infty}^\infty z^2 f(z) dz \\ &= \displaystyle \int_0^\infty z^2 \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{z^{\frac{n}{2}-1}}{(1+\frac{n}{m}z)^{\frac{n+m}{2}}}dz \\ &= \displaystyle \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^\infty \frac{z^{\frac{n}{2}+1}}{(1+\frac{n}{m}z)^{\frac{n+m}{2}}} dz \end{split}\end{equation*}$$

ここで$\frac{1}{1+\frac{n}{m}z} = u$とおくことで

$z = \frac{m}{n}(u^{-1} - 1)$

上式を$u$について微分すると

$\frac{dz}{du} = -\frac{m}{n}u^{-2}$

$E(Z^2)$に代入すると

$$\begin{equation*}\begin{split} E(Z^2) &= \displaystyle \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_1^0 (\frac{m}{n}(u^{-1}-1))^{\frac{n}{2}+1} u^{\frac{n+m}{2}} (-\frac{m}{n}u^{-2}) du \\ &= \displaystyle \frac{\frac{m^2}{n^2}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^1 (u^{-1} - 1)^{\frac{n}{2}+1} u^{\frac{n+m}{2} - 2}du \\ &=  \displaystyle \frac{\frac{m^2}{n^2}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \int_0^1 (1-u)^{\frac{n}{2}+1} u^{\frac{m}{2}-3} du \end{split}\end{equation*}$$

3行目の$u$の積分式についてベータ関数の定義に一致させるように式変形をします。

$$\begin{equation*}\begin{split} \int_0^1 (1-u)^{\frac{n}{2}+1} u^{\frac{m}{2}-3} du &= \displaystyle \int_0^1 u^{\frac{m}{2}-2-1} (1-u)^{\frac{n}{2}+2-1} du \\ &= \displaystyle B(\frac{m}{2}-2, \frac{n}{2}+2) \end{split}\end{equation*}$$

上式を代入することで

$E(Z^2) = \frac{\frac{m^2}{n^2}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} B(\frac{m}{2}-2, \frac{n}{2}+2)$

となります。

ここでベータ関数とガンマ関数の関係式を用いて、

$E(Z^2) = \displaystyle \frac{\frac{m^2}{n^2}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2}-2)\Gamma(\frac{n}{2}+1)}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})}$

さらにガンマ関数の性質を用いることで、$E(Z^2)$は以下のようになります。

$$\begin{equation*}\begin{split} E(Z) &= \displaystyle  \frac{\frac{m^2}{n^2}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{(\frac{1}{\frac{m}{2}-1})(\frac{1}{\frac{m}{2}-1})\Gamma(\frac{m}{2})(\frac{n}{2}+1)\frac{n}{2}\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-2)(m-4)} \frac{1}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-2)(m-4)} \frac{\Gamma(\frac{n}{2}+\frac{m}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})} \frac{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}+\frac{n}{2})} \\ &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-2)(m-4)} \end{split}\end{equation*}$$

この値を$V(Z)$の式に代入すると

$$\begin{equation*}\begin{split} V(Z) &= \displaystyle \frac{m^2 (n+2)}{n(m-2)(m-4)} - \frac{m^2}{(m-2)^2} \\ &= \frac{m^2 \{ (n+2)(m-2)-n(m-4)\} }{n(m-2)^2 (m-4)} \\ &= \frac{2m^2 (n+m-2)}{n(m-2)^2 (m-4)} \end{split}\end{equation*}$$

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