期待値とは？定義や性質を解説

2024.2.28

2024.5.17

期待値とは（Expected Value）

期待値とは、確率変数がとる値を確率によって重みづけした平均値です。簡単にいうと、確率変数が取ると「期待」される値です。

離散型確率変数は、サイコロの目のように飛び飛びの値を取ります。この場合の期待値は以下のような式で表現されます。

$E(X) = \displaystyle \sum_{ i } x_if_X(x_i)$

連続型確率変数は、身長のように連続した値を取ります。この場合の期待値は以下のような式で表現されます。

$E(X) = \displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } xf(x) dx$

期待値 $E(X)$ には、以下に述べるような性質があります。式変形をする上でよく使うので覚えておきましょう。

性質	式変形
期待値の線形性	$E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)$
期待値の単調性	$X ≦ Y \longrightarrow E(X) ≦ E(Y)$
$X^2$ の期待値	$E(X^2) = \displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx$
独立な2つの確率変数 $X,Y$ の期待値	$E(XY) = E(X)E(Y)$

期待値とよく似た言葉に、平均というのがあります。場合によって、期待値は平均と同じ意味で使われていたりしますが、平均は標本の平均値を指す場合もあります。

標本サイズNの観測データ $x_1,x_2,...,x_N$ について、期待値と平均がどのように定義されるかを考えます。

母集団から $X = x_i$ という値が観測される確率を $p_i$ とします。
また、 $N$ 回の観測において、 $X = x_i$ が観測される回数を $N_i$ と置きます。

そうすると、期待値 $μ$ と平均 $\bar{x}$ はそれぞれ次の式で表されます。

$μ = \displaystyle \sum_{ i }x_ip_i$

$\bar{x} =\displaystyle \sum_{ i } \frac{x_iN_i}{N}$

大数の法則から、標本サイズ $N$ が∞まで大きくなるとき、 $p_i = \frac{N_i}{N}$ となります。
つまり、標本サイズが∞のとき、 $μ=\bar{x}$ が成り立ちます。

また、標本サイズが∞というのは、標本が母集団に一致していることを示しています。よって、標本が母集団と一致するとき、期待値と標本平均が等しくなると言えます。

期待値は、標本の背後に存在する母集団の平均に対応する値であり、標本の理論的な平均値（母集団の平均値）を表すものと言えます。また、理論的な平均値というのは母集団における平均であり、確率分布の期待値は母集団の平均値と一致します。

ここでは離散型確率分布の例を取り上げましたが、連続型確率分布の場合であっても同じことが言えます。

確率変数 $X$ が定義されているとき、関数 $u(X)$ もまた確率変数です。よって、この関数の期待値を考えることができ、離散型と連続型の場合で分けて以下のように表せます。

$E[u(X)] = \displaystyle \sum_{ i } u(x_i)f(x_i)$

$E[u(X)] = \displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } u(x)f(x) dx$