確率密度関数を用いた連続一様分布の期待値（平均）と分散の導出

公式の確認

期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{a} xf(x)dx+\displaystyle \int_{ a }^{ b } xf(x)dx+\displaystyle \int_{b}^{ \infty } xf(x)dx\\ &=0+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x\frac{1}{b-a}dx+0\\ &=\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^2}{2} \right]_{a}^{b}\\ &=\frac{a+b}{2} \end{split}\end{equation*}$$

分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ - \infty }^{a} x^2f(x)dx+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x^2f(x)dx+\displaystyle \int_{b}^{ \infty } x^2f(x)dx\\ &=0+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x^2\frac{1}{b-a}dx+0\\ &=\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^3}{3} \right]_{a}^{b}\\ &=\frac{1}{b-a}\frac{{b^3}-{a^3}}{3}\\ &=\frac{{a^2}+ab+{b^2}}{3}\\\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=\frac{{a^2}+ab+{b^2}}{3}-{(\frac{a+b}{2})}^2\\ &=\frac{{(b-a)}^2}{12} \end{split}\end{equation*}$$

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