ARMAモデル（自己回帰移動平均モデル）について分かりやすく解説

ARMAモデルとは

ARMAモデル（自己回帰移動平均モデル）は、現在の値$y_{t}$を過去の値とホワイトノイズの和によって表現するモデルです。

ARモデルとMAモデルから構成されるモデルと考えることもできます。

以下のARMAモデル式を見てみましょう。

$y_{t} =c + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \cdots + \phi_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_{q}\varepsilon_{t-q}$

上記のARMAモデルは$( p, q )$次ARMAモデルと呼ばれます。または、ARMA$( p, q )$モデルと表記されます。

これは$p$次ARモデルと$q$次MAモデルであることを意味しています。

上記のARMAモデルは$\Sigma$を用いてシンプルに表現することもできます。

$y_{t} =c + \varepsilon_{t} + \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ p } \phi_{i}y_{t-i} +\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ q } \theta_{i}\varepsilon_{t-i} \ \ldots \ (1)$

上記の$\Sigma$を用いたARMAモデル式を見ると$p$次ARモデルと$q$次MAモデルから構成されていることがよく分かります。

ARMAモデルの定常性

ARMAモデルが$p$次ARモデルと$q$次MAモデルを組み合わせたモデルであることは説明しました。

構成するARモデルとMAモデルが定常である時、ARMAモデルは定常過程となります。

MAモデルは常に定常であるから、ARモデルが定常であるとき$( p, q )$次ARMAモデルが定常過程となります。

ARMAモデルの統計量

以下では定常ARMA$( p, q )$モデルの$(1)$式について統計量の値を示します。

期待値

  $\mu = E[y_{t}] = \displaystyle \frac{ c }{ 1 - \phi_{1} - \phi_{2}  - \cdots - \phi_{p} }$

自己共分散

$\gamma_j = Cov[y_t, y_{t - j}] = \theta_1\gamma_{j - 1} + \theta_2\gamma_{j - 2} + \cdots + \theta_p\gamma_{j - p}, \quad q \lt j$

自己相関

$p_j = \theta_1p_{j - 1} + \theta_2p_{j - 2} + \cdots + \theta_pp_{j - p}, \quad q \lt j$

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