時系列分析におけるARモデル（自己回帰モデル）とは

ARモデルとは

ARモデル（AutoRegressive model）は自己回帰モデルと呼ばれ、現在の値を過去のデータを用いて回帰する時系列モデルです。失業率といった経済指標、また株価の分析などに用いられます。

ARモデルはARMAモデル、ARIMAモデル、SARIMAモデルなどの基礎にもなっている重要な時系列モデルです。

「現在の値を過去のデータを用いて回帰する」をもう少し詳しく説明すると、時点$t$での値$y_t$を時点$t$よりも過去のデータ$y_{t-1} , y_{t-2} , ...$を用いて回帰するということです。

1次ARモデル

最もシンプルなARモデルです。

時点$t$におけるデータ$y_t$が定数項$\phi_0$、一時点前のデータ$y_{t-1}$、攪乱項$\varepsilon_t$を使って以下のように表されます。

$y_t = \phi_0 + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t$

時点$t$に対して、1時点前までのデータ$y_{t-1}$を用いて回帰するARモデルを1次ARモデルと呼びます。

ARモデル(1)とも表現されます。この1次ARモデルは単回帰モデルによく似ており、ラメータ$\phi_0 , \phi_1$は最小二乗法で求めることができます。

1次ARモデルの詳細は「1次ARモデルの特徴や統計量について」をご確認ください。

$j$次ARモデル

時点$t$におけるデータ$y_t$を1時点前だけでなく、2時点前、3時点前、...のデータ$y_{t-1} , y_{t-2} , y_{t-3} , ...$を用いて回帰したいときに用いるのが、$j$次ARモデルです。

$y_t$を回帰するために$j$時点前までのデータ$y_{t-1} , y_{t-2} , ... , y_{t-j}$を用いるとき、$j$次ARモデルと呼びます。以下の$j$次ARモデルの式を確認してみましょう。

$y_t = \phi_0 + \phi_1y_{t-1} + ... + \phi_jy_{t-j} + \varepsilon_t$

$\phi_i$は$y_{t-i}$に対するパラメータです。このパラメータ$\phi_i$は最小二乗法のほかに最尤法で求められることが知られています。

n自モデルの詳細は「n次ARモデルの特徴や統計量について」をご確認ください。

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