時系列分析の単位根過程、和分過程、ランダムウォークを解説

単位根過程

原系列が非定常であり、その差分系列が定常であるような時系列を単位根過程または1次和分過程といいます。

単位根過程の定義

定義は以下の通りです。

$y_t$が非定常過程、また差分系列$y_t - y_{t - 1} = {\Delta}y_t$が定常過程である時、$y_t$は単位根過程である。

定義から単位根過程であるためには、以下２つの条件が必要であることが分かります。

・$y_t$が非定常過程に従うこと

・差分系列が定常過程に従うこと

単位根過程の活用シーン

単位根過程の活用シーンを2つ紹介します。

単位根過程を用いた時系列モデルを考えるとき

ランダムウォークやARIMAモデル、SARIMAモデルは単位根過程を用いています。

時系列データの回帰分析を行うとき

単位根過程に従う$x_t, y_t$ に回帰分析を行うと、まったく関係のない$x_t, y_t$の間に有意な相関を見出してしまう「見せかけの回帰」が行われます。

例えば株価と二酸化炭素濃度という関係のない２つの間に相関性を導き出してしまうといった例があります。

「見せかけの回帰」を避けるためには、あらかじめ２つの時系列データ$x_t, y_t$が単位根過程に従っているかどうかを単位根検定で確認する必要があります。

和分過程

和分過程の定義は以下の通りです。

d-1階差分系列$y_t - y_{t - d + 1}$が非定常であり、d階差分系列$y_t - y_{t - d}$が定常過程である時、$y_t$はd次和分過程に従う。

上記の定義をみると、単位根過程とよく似ていることが分かります。

和分過程は一階の差分だけでなくｄ階差分について考えることができるので、和分過程の方が単位根過程よりも表現できるモデルの幅が広いと言えます。

ランダムウォーク

代表的な単位根過程であるランダムウォークについて考えていきます。

ランダムウォークの定義

ランダムウォークの定義式は以下の通りです。

$y_t = \delta + y_{t-1} + \varepsilon_t \ \ldots \ (1)$

$\varepsilon_t$について$E[\varepsilon_t] = 0, \ V[\varepsilon_t] = \sigma^2$であるとする。

 ランダムウォークは1次ARモデル式で表されていますね。

この式の$\delta$はランダムウォークのドラフト項と呼び、トレンドを表現します。

ランダムウォークと単位根過程

ランダムウォークが単位根過程であるかどうか確認してみましょう。

単位根過程には、$y_t$は非定常過程であること、差分系列$y_t - y_{t - 1} = {\Delta}y_t$が定常過程であることという2つの条件がありました。

ランダムウォークが単位根過程であるか確認するため、原系列$y_t$、差分系列 ${\Delta}y_t$それぞれの定常性について考えてみましょう。

まずは原系列$y_t$が非定常過程であるかを確認します。

ランダムウォークを表した式$(1)$を見ると1次ARモデルに従うということが分かります。

一次ARモデルの$y_t$は$| \phi_1 | \geq 1$の時、非定常過程に従います。今回は$\phi_1 = 1$であるため、ランダムウォークの$y_t$が非定常過程に従うと分かります。

次に差分系列 ${\Delta}y_t$が定常過程であるかを確認します。

ランダムウォークを表した式$(1)$を以下のように変形します。

 $y_t - y_{t-1} = \delta + \varepsilon_t$

 上記の式を見ると、左辺の差分系列$y_t - y_{t - 1}$は右辺の定常過程$\delta + \varepsilon_t$によって表されています。

これでランダムウォークが単位根過程であることが確認できました。