危険関数（リスク関数）とは

危険関数（リスク関数）とは

危険関数（リスク関数）とは、ある行動$δ$とったときに起こる損失について評価した関数です。損失関数の期待値によって表されます。

危険関数の定義

変数を次のように定義します。

・ランダム変数:$X 〜P_θ$
・行動（決定）:$d$
・決定の関数:$δ(x)$
・決定$d$による損失:$L(θ,d)$

ここで、決定$δ$による損失の期待値$R(θ,δ)$は、

$R(θ,δ) = ε_θL[(θ,δ(x))]$

です。この$R$を危険関数といいます。

ここで、損失$L$の評価方法は色々あり、一種類ではりません。例えば、一変量の場合であれば、二乗誤差や差の絶対値の形で、次のように表すことがあります。

$L(θ,d) = (θ-d)^2 \\ L(θ,d) = |θ-d|$

危険関数の例題

危険関数の使いどころを例題を通して確認しましょう。

例題

Bさんの手の中に何枚のコインが入っているかをAさんが当てるゲームをします。コインは１〜５枚で握る枚数の確率は全て$\frac{1}{5}$とし、実際の枚数に近い枚数を言えば、何もなし。実際の枚数と離れた数字を言ってしまうほど、重い罰ゲームを受けるとします。ここでAさんは何枚と答えるのが一番良い選択でしょうか？

Aさんの決定を$d$枚とし、損失を絶対値で評価する形式を取ります。

この場合、損失の期待値はそれぞれの$d$において次のような計算になります。

$d=5 \longrightarrow ε_θL[(θ,d)] = \frac{1}{5}(4+3+2+1+0) = 2$

$d=4 \longrightarrow ε_θL[(θ,d)] = \frac{1}{5}(3+2+1+0+1) = 1.4$

$d=3 \longrightarrow ε_θL[(θ,d)] = \frac{1}{5}(2+1+0+1+2) = 1.2$

$d=2 \longrightarrow ε_θL[(θ,d)] = \frac{1}{5}(1+0+1+2+3) = 1.4$

$d=1 \longrightarrow ε_θL[(θ,d)] = \frac{1}{5}(0+1+2+3+4) = 2$

以上の結果から、$d = 3$のときに損失の期待値が最小になるので、今回のゲームでは3枚と答えるのが最も安全だと言えます。

このように、行動を決定するとき、危険関数$R(θ,δ)$が小さくなるような行動$δ$を最善とする決定理論があります。

危険関数と事前分布

危険関数に対して$ρ(θ)$という事前分布を与えると、危険関数の期待値を取ることによって、行動による平均損失$r(ρ,δ)$を求めることができます。それが次の式です。

$r(ρ,δ) = ε_ρR(θ,δ) = ε_ρε_θL[(θ,δ(x))]$

このように、事前分布$ρ(θ)$を与えて、$r$が最小化された行動（手順）をベイズ手順といい、その時の$r$をベイズリスクという言い方をします。

この事前分布を考えて行動を決定するという考え方です。

この危険関数の期待値の形は、積分記号を用いて、以下のように表記されることが多いです。

$r(ρ,δ) = \int_Θ\int_X L[(θ,δ(x))]f(x|θ)ρ(θ) dxdθ$

上式は、$x$と$θ$の同時密度関数$g$について、$g(x,y) = f(x|θ)ρ(θ)$が成り立つことを利用しています。

ここで、$x$の周辺密度関数$f(x)$と、$x$を与えた時の$θ$の分布が

$f(x) = \int f(x|θ)ρ(θ) dθ \\ g(θ|x) = \frac{f(x|θ)ρ(θ)}{f(x)}$

になることを使うと、

$r(ρ,δ) = \int_X \left[ \int_Θ L[(θ,δ(x))]g(θ|x)dθ\right] f(x) dx$

となります。