時系列分析におけるMAモデル（移動平均モデル）とは

MAモデルとは

MAモデル（Moving Average model）は移動平均モデルとも呼ばれています。

MAモデルが実際に用いられることは少ないですが、MAモデルとARモデルを組み合わせたARIMAモデル、SARIMAモデルはビジネス分析などに用いられます。

1次MAモデル

1次MAモデルは以下の式で表されます。

$y_t = \theta_0 + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1}$

ただし、ホワイトノイズ$\varepsilon_t$ の分散は$\sigma^2$とする。

上記の式を見てみると1次MAモデルが定数項$\theta_0$と2つのホワイトノイズ$\varepsilon_{t},\varepsilon_{t-1}$によって構成されていることが分かります。

このホワイトノイズは時間によって発生するランダムな数と考えましょう。

1次MAモデルでは1時点前までのホワイトノイズを用います。$n$次MAモデルであれば$n$時点前までのホワイトノイズを用います。

MAモデルは定数とホワイトノイズの加重和によって表されるモデルと言えます。

1次MAモデルの統計量

期待値

期待値を扱うにあたり、ARモデルでは定常性に注意する必要がありましたが、MAモデルでは定常性について考える必要はありません。

1次MAモデルの$y_t$の期待値を計算するにあたり、以下の$1$次MAモデル式について考えます。

 $y_t = \theta_0 + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1}$

上記の式の両辺の期待値をとります。

$E[y_t] = E[\theta_0] + E[\varepsilon_t] + \theta_1E[\varepsilon_{t-1}]$

ホワイトノイズの期待値はどんな$t$に対しても$E[\varepsilon_t] = 0$であるから、以下のように求めることができます。

$E[y_t] = \theta_0$

この結果から$y_t$の期待値は定数項$\theta_0$であるということが分かります。

これを踏まえ、1次MAモデル式の定数項$\theta_0$を期待値$\mu$と置き換えると以下のように表せます。

 $y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1}$

自己共分散

1次MAモデルの自己共分散$\gamma_t$について考えます。

まずは$y_t$の分散がどのような値を取るかについて計算し、そのあとに自己共分散$\gamma_t$について計算します。

では、以下の1次MAモデルについて分散$V[y_t]$を考えます。

$y_t = \theta_0 + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1}$

上記の式の両辺の分散をとります。

$$\begin{equation*}\begin{split} V[y_t] &= V[\theta_0] + V[\varepsilon_t] + V[\theta_1\varepsilon_{t-1}] \\ &= V[\varepsilon_t] + \theta_1^2V[\varepsilon_{t-1}] \end{split}\end{equation*}$$

ホワイトノイズの分散はどんな$t$に対しても$V[\varepsilon_t] = \sigma^2$であるから、以下のように求めることができます。

$V[y_t] = (1 + \theta_1^2)\sigma^2$

次に$j$次自己共分散$\gamma_t$について考えます。

以下のように$\gamma_t$を表すことができます。

$$\begin{equation*}\begin{split} \gamma_t &= Cov[y_t, y_{t-j}] \\ &= Cov[\theta_0 + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1}, \ \theta_0 + \varepsilon_{t - j} + \theta_1\varepsilon_{t- j -1} ] \ \ldots (1) \ \end{split}\end{equation*}$$ 

では、1次自己共分散$\gamma_1$を求めてみます。$(1)$の式を用いて考えます。

 $$\begin{equation*}\begin{split} \gamma_1 &= Cov[y_t, \ y_{t-1}] \\ &= Cov[\theta_0 + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1}, \ \theta_0 + \varepsilon_{t - 1} + \theta_1\varepsilon_{t- 2} ] \\ &= Cov[\varepsilon_{t-1}, \ \theta_1\varepsilon_{t-1}] \\ &= \theta_1V[\varepsilon_{t-1}] \\ &= \theta_1\sigma^2  \end{split}\end{equation*}$$

ホワイトノイズの自己共分散$Cov[\varepsilon_t,\varepsilon_{t-j}] = 0$であることを用いた。

実は1次MAモデルには2次以上の自己共分散は存在しません。

$$\begin{equation*}\begin{split} \gamma_j &= Cov[y_t, y_{t-j}] \\ &= Cov[\theta_0 + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1}, \theta_0 + \varepsilon_{t - j} + \theta_1\varepsilon_{t- j - 1} ] \\ &= Cov[\varepsilon_t, \ \varepsilon_{t - j} + \theta_1\varepsilon_{t- j - 1}] + Cov[\theta_1\varepsilon_{t-1}, \ \varepsilon_{t - j} + \theta_1\varepsilon_{t- j - 1}] \\ &= 0 \end{split}\end{equation*}$$

ホワイトノイズの自己共分散$Cov[\varepsilon_t,\varepsilon_{t-j}] = 0$であることを用いた。

 2次以上の自己共分散は$\gamma_t = 0$と計算できました。このことから1次MAモデルに2次以上の自己共分散が存在しないことが分かります。

自己相関

1次MAモデルの自己相関$p_t$についても考えてみましょう。

1次MAモデルに2次以上の自己共分散が存在しないことを考えると、1次の自己相関$p_1$のみ存在します。

$p_1 = \displaystyle \frac{ \gamma_1 }{ \gamma_0 } = \displaystyle \frac{ \theta_1 }{ 1 + \theta_1^2 }$

$\gamma_0$は分散$V[y_t]$であることを用いました。

この計算結果から$\theta_1$の値によって自己相関$p_1$の強さが決まると解釈できます。

また$1$次MAモデルは$1$次までの自己相関を持つデータを表現できると分かります。

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