超幾何分布とは？期待値と分散の導出も解説

超幾何分布とは（hypergeometric distribution）

具体例として、箱の中からボールを取り出す試行を考えます。

箱の中に$N$個のボールがあり、$k$個が赤いボール、$N-k$個が青いボールです。箱の中から$n$個のボールを取り出したとき、その中に含まれる赤いボールの個数を$X$個とします。

このとき、$X$が従う確率分布が超幾何分布です。

超幾何分布の公式

超幾何分布の公式は以下となります。

期待値の導出

超幾何分布は離散型確率分布なので、期待値の定義（離散型確率変数の場合）から

$$\begin{equation*}\begin{split} E(X) &= \displaystyle \sum_{x=0}^n x p(x) \\ &= \displaystyle \sum_{x=0}^n x \frac{\left( \begin{array}{c} k \\ x \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} N-k \\ n-x \end{array} \right) }{\left( \begin{array}{c} N \\ n \end{array} \right)} \end{split}\end{equation*}$$

となります。

ここで、$x = 0$の時、$E(X)$の値は$0$となることから、$x = 1$から$n$までの総和として考えてもよいものとなります。さらに

$$\begin{equation*}\begin{split} \frac{\left( \begin{array}{c} k \\ x \end{array} \right)}{\left( \begin{array}{c} N \\ n \end{array} \right)}  &= \displaystyle  \frac{\frac{k!}{x!(k-x)!}}{\frac{N!}{n!(N-n)!}} \\  &= \displaystyle n \frac{k}{N} \times \frac{\frac{(k-1)!}{(x-1)! \{ (k-1)-(x-1) \} ! }}{\frac{(N-1)!}{(n-1)! \{ (N-1)-(n-1) \} ! }} \end{split}\end{equation*}$$

と表せることから

$E(X) = \displaystyle n \frac{k}{N} \sum_{x=1}^n \frac{\left( \begin{array}{c} k-1 \\ x-1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} N-k \\ n-x \end{array} \right) }{\left( \begin{array}{c} N-1 \\ n-1 \end{array} \right) }$

となります。

ここで$\frac{\left( \begin{array}{c} k-1 \\ x-1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} N-k \\ n-x \end{array} \right) }{\left( \begin{array}{c} N-1 \\ n-1 \end{array} \right) }$は、パラメータが$N-1$、$k-1$、$n-1$の超幾何分布の密度関数の形と一致しています。

上式ではこの確率密度関数について、とりうる値において全て足しあわせており、その値は１となります。（これは、ある事象における全ての確率を足すと１になることと同義です。）

したがって、期待値は以下の形で表されます。

$E(X) = \displaystyle n \frac{k}{N}$

分散の導出

分散の性質より

$$\begin{equation*}\begin{split} V(X) &= \displaystyle E(X^2) -E(X)^2 \\ &= \displaystyle E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2 \end{split}\end{equation*}$$

$E(X(X-1))$を求めます。こちらについても、上記の期待値の定義から次のように求めます。

$$\begin{equation*}\begin{split} E(X(X-1)) &= \displaystyle \sum_{x=0}^n x(x-1) p(x) \\ &= \displaystyle \sum_{x=0}^n x(x-1) \frac{\left( \begin{array}{c} k \\ x \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} N-k \\ n-x \end{array} \right) }{\left( \begin{array}{c} N \\ n \end{array} \right)} \\ &= \displaystyle n \frac{k}{N} \sum_{x=1}^n x(x-1) \frac{\left( \begin{array}{c} k-1 \\ x-1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} N-k \\ n-x \end{array} \right) }{\left( \begin{array}{c} N-1 \\ n-1 \end{array} \right)}  \\ &= \displaystyle n(n-1) \frac{k(k-1)}{N(N-1)} \sum_{x=2}^n x(x-2) \frac{\left( \begin{array}{c} k-2 \\ x-2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} N-k \\ n-x \end{array} \right) }{\left( \begin{array}{c} N-2 \\ n-2 \end{array} \right)}  \\ &= \displaystyle n(n-1) \frac{k(k-1)}{N(N-1)} \end{split}\end{equation*}$$

2行目から3行目の式展開については先程と同じく、$x = 0$の時、値は0をとりますので、$x = 1$から$n$までの総和として考えるものとしています。

3行目から4行目の変形についても同様の理由です。さらに4行目ではパラメータが$N-2$、$k-2$、$n-2$の超幾何分布の密度関数の総和をとっているので、その値は1となります。

よって、$E(X(X-1)) = n(n-1) \frac{k(k-1)}{N(N-1)}$となります。

したがって、上記の値を$V(X)$に代入すると

$$\begin{equation*}\begin{split} V(X) &= \displaystyle E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2 \\ &= \displaystyle n(n-1) \frac{k(k-1)}{N(N-1)} + n \frac{k}{N} - n^2 \frac{k^2}{N^2} \\ &= \displaystyle \frac{nk(N-k)(N-n)}{N^2 (N-1)} \end{split}\end{equation*}$$

となります。