掃き出し法を用いた逆行列の求め方を例題で解説

掃き出し法とは

掃き出し法とは、以下のように説明できます。

掃き出し法

行列Aの右隣に単位行列Iをつけ、行基本変形を行い、[I B]に変形する。

この行列Bが行列Aの逆行列$A^{-1}$となる。

$n×n$行列の掃き出し法は以下のようになります。

例題

それでは、実際に掃き出し法を用いて逆行列を求めましょう。

例題

行列$A= \begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$の逆行列$A^{-1}$を求めよ。

解答は以下の通りです。

行列Aの右隣に単位行列Iをつけ、$\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 2  & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1  & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$とし、この行列を行基本変形し、[I B]の形になるように意識しながら変形します。

まず、この行列の1行目を-2倍し3行目に加えると次のようになる。

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 2  & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -3  & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に2行目の行列の-2倍を1行目に加え、3行目の行列に$-\frac{ 1 }{ 3 }$をかけると次のようになる。

$\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & 1 & -2 & 0  \\ 0 & 1 & 2  & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1  & \frac{ 2 }{ 3 } & 0 & -\frac{ 1 }{ 3 }\end{pmatrix}$

同様に2行目の行列の-1倍を3行目に加えると次のようになる。

$\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & 1 & -2 & 0  \\ 0 & 1 & 2  & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1  & \frac{ 2 }{ 3 } & -1 & -\frac{ 1 }{ 3 }\end{pmatrix}$

同様に3行目の行列の-2倍を1行目に加え、3行目の行列の2倍を2行目に加えると次のようになる。

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{ 1 }{ 3 } & 0 & \frac{ 2 }{ 3 }  \\ 0 & 1 & 0  & \frac{ 4 }{ 3 } & -1 & -\frac{ 2 }{ 3 } \\ 0 & 0 & -1  & \frac{ 2 }{ 3 } & -1 & -\frac{ 1 }{ 3 }\end{pmatrix}$

最後に3行目を-1倍かける。

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{ 1 }{ 3 } & 0 & \frac{ 2 }{ 3 }  \\ 0 & 1 & 0  & \frac{ 4 }{ 3 } & -1 & -\frac{ 2 }{ 3 } \\ 0 & 0 & 1  & -\frac{ 2 }{ 3 } & 1 & \frac{ 1 }{ 3 }\end{pmatrix}$

以上より、[I B]の形に式変形することができました。よって

$A^{-1}＝\begin{pmatrix} -\frac{ 1 }{ 3 } & 0 & \frac{ 2 }{ 3 }  \\  \frac{ 4 }{ 3 } & -1 & -\frac{ 2 }{ 3 } \\  -\frac{ 2 }{ 3 } & 1 & \frac{ 1 }{ 3 }\end{pmatrix}$

となります。