固有値と固有ベクトルの求め方と例題を用いて解説

固有値の求め方

固有値と固有ベクトルの定義は以下のようになります。

n次正方行列Aについて、

Ax = λx，x $\neq$ 0

のとき、λをAの固有値といい、xをλに関する固有ベクトルといいます。

また、Ax = λxから、以下の式を得られます。

$(λI-A)x = 0$

上記の式を得るためには、x $\neq$ 0である必要があるので、

$det(λI-A) = 0$

となることが必要です。

よって、固有値を求める公式は以下となります。

固有値を求める公式

n次正方行列Aについて、

$det(λI-A) = 0$

のとき、λは行列Aの固有値である。

固有ベクトルの求め方

固有ベクトルは、固有値を使って求めます。

$(λI-A)x = 0$に求めた固有値λを代入し、等式が成り立つようなxが固有ベクトルです。

つまり固有値の数だけ、それに対する固有ベクトルが存在します。

例題で考えましょう。

例題

行列$A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix}$の固有値と固有ベクトルを求めよ。

解答は以下となります。

公式：$det(λI-A) = 0$に行列Aを代入すると、

$det(λ \begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}  -\begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix}) = 0$

です。この式を整理すると、

$det \begin{pmatrix} λ-4 & -1\\  2 &  λ-1 \end{pmatrix}  = 0$

$\Leftrightarrow   (λ-4)(λ-1) - (-1)2 = 0$

$\Leftrightarrow   λ^2 - 5λ + 6 = 0$

$\Leftrightarrow   (λ-2)(λ-3) = 0$

よって、固有値λは2と3になります。

次にそれぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

固有値$λ = 2$のとき

$(λI-A)x = 0$

に$λ = 2$と$A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix}$を代入すると、

$(2\begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix})x = 0$

$\begin{pmatrix} -2 & -1\\  2 & 1 \end{pmatrix}x = 0$

よって、$x= \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}$です。

固有値$λ = 3$のとき

$(λI-A)x = 0$

に$λ = 3$と$A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix}$を代入すると、

$(3\begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 & 1\\  -2 & 1 \end{pmatrix})x = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & -1\\  2 & 2 \end{pmatrix}x = 0$

よって、$x= \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$です。