確率密度関数を用いた指数分布の期待値・分散の導出

指数分布の公式の確認

期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}dx\\ &=\lambda\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x})'dx\\ &=\lambda(\left[x(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x})\right]_{0}^{\infty}-\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}dx)\\ &=\lambda(0-\left[\frac{1}{{\lambda}^2}\mathrm{e}^{- \lambda x}\right]_{0}^{\infty})\\ &=\frac{1}{\lambda}\end{split}\end{equation*}$$

補足

ここでは部分積分を使います。

部分積分の公式は以下です。

$$\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int f(x)g'(x)&=f(x)g(x)-\displaystyle \int f'(x)g(x)\end{split}\end{equation*}$$

今回は、

$$\begin{equation*}\begin{split}f(x)&=x\\ g(x)&=-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x}\end{split}\end{equation*}$$

この値を使って考えるとわかりやすいです。

分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } x^2 f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^2\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}dx\\ &=\lambda\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^2(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x})'dx\\ &=\lambda(\left[x^2(-\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{-\lambda x})\right]_{0}^{\infty}-\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }-2x\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}dx)\\ &=\lambda(0＋\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }2x\frac{1}{\lambda}\mathrm{e}^{\lambda x}dx)\\ &=\lambda(2 \frac{1}{{\lambda}^2}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \lambda\mathrm{e}^{\lambda x}dx)\\ &=\frac{2}{\lambda} \frac{1}{\lambda}\\ &=\frac{2}{{\lambda}^2}\\\\ V(X)&=E(X^2)-({E(X)})^2\\ &=\frac{2}{{\lambda}^2}-\frac{1}{{\lambda}^2}\\ &=\frac{1}{{\lambda}^2}\end{split}\end{equation*}$$

補足

前項の期待値の導出から、

$$\begin{equation*}\begin{split}\int_{ 0 }^{ \infty }x \lambda\mathrm{e}^{\lambda x}dx\end{split}\end{equation*} = \frac{1}{\lambda}$$

となることが分かるため、この形が出てくるように、意識しながら式変形しましょう。

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