積率母関数を用いた指数分布の期待値・分散の導出

指数分布の公式の確認

積率母関数の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}M_X(t)&=E(\mathrm{e}^{tX})\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \mathrm{e}^{tx}f(x) dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}dx\\ &=\lambda\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{-(\lambda - t) x}dx\\ &=\lambda \left[\frac{\mathrm{e}^{(t-\lambda)x}}{t-\lambda}\right]_{0}^{\infty}\\ &=\frac{\lambda}{t-\lambda}(0-1)\\ &=\frac{\lambda}{\lambda-t}\end{split}\end{equation*}$$

補足

$t$は積率母関数の定義より0に限りなく近い値である。

$λ$は指数分布の定義より、正のパラメータである。

よって、$t-λ$は負の値になる。よって、

$$\begin{equation*}\begin{split}\lim_{x \to \infty} \mathrm{e}^{(t-\lambda)x}=0\end{split}\end{equation*}$$

である。

期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{M_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{\lambda}{{(\lambda-t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=\frac{1}{\lambda}\end{split}\end{equation*}$$

分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{M_X}(t)}{d{t}^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.({\frac{\lambda}{{(\lambda-t)}^2}})'\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{-\lambda 2 (\lambda-t)(-1)}{{(\lambda-t)}^4}\right|_{t=0}\\ &=\frac{2}{{\lambda}^2}\\\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=\frac{2}{{\lambda}^2}-\frac{1}{{\lambda}^2}\\ &=\frac{1}{{\lambda}^2}\end{split}\end{equation*}$$

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