確率質量関数を用いた離散一様分布の期待値・分散の導出

公式の確認

まずは、公式の確認をしましょう。

期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\sum_{k=1}^{N}kP(X=k)\\ &=\sum_{k=1}^{N}k\frac{1}{N}\\ &=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}k\\ &=\frac{1}{N}\frac{N(N+1)}{2}\\ &=\frac{N+1}{2}\end{split}\end{equation*}$$

分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\sum_{k=1}^{N}k^2P(X=k)\\ &=\sum_{k=1}^{N}k^2\frac{1}{N}\\ &=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}k^2\\ &=\frac{1}{N}\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\ &=\frac{(N+1)(2N+1)}{6}\\\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=\frac{(N+1)(2N+1)}{6}-{(\frac{N+1}{2})}^2\\ &=\frac{N^2-1}{12} \end{split}\end{equation*}$$

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