積率母関数を用いた離散一様分布の期待値・分散の導出

公式の確認

まずは、公式の確認をしましょう。

離散一様分布の積率母関数（モーメント母関数）の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}M_X(t)&=E(\mathrm{e}^{tk})\\ &=\sum_{k=1}^{N}\mathrm{e}^{tk}P(X=k)\\ &=\sum_{k=1}^{N}\mathrm{e}^{tk}\frac{1}{N}\\ &=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\mathrm{e}^{tk}\\ &=\frac{1}{N}\frac{\mathrm{e}^{t}(1-\mathrm{e}^{tN})}{1-\mathrm{e}^{t}}\\ &=\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^{t}} \end{split}\end{equation*}$$

積率母関数を用いた期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{M_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=\left.(\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^{t}})'\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^{t}}+\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)}{(1-\mathrm{e}^{t})^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{(1-\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})+(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)}{(1-\mathrm{e}^{t})^2}\right|_{t=0}\\ \end{split}\end{equation*}$$

【補足】

上式にt=0を代入すると、分母が0になる。そのため上式が定義できない。そこでロピタルの定理を用いる。

ロピタルの定理とは

$$\begin{equation*}\begin{split}\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a} \frac{f(x)'}{g(x)'}\end{split}\end{equation*}$$

である。これを前述の式に適応させる。

$$\begin{equation*}\begin{split}&=\lim_{t \to 0}\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{(1-\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})+(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)}{(1-\mathrm{e}^{t})^2}\\ &=\lim_{t \to 0}\frac{(\mathrm{e}^{t}((1-\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})+(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)))''}{(N(1-\mathrm{e}^{t})^2)''}\\ &=\frac{N^2+N}{2N}\\ &=\frac{N+1}{2}\end{split}\end{equation*}$$

積率母関数を用いた分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{m_X}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\end{split}\end{equation*}$$

【補足】

これを前述のロピタルの定理を用いて導くことができるが、計算が煩雑であるため省略する。離散一様分布の分散は、確率質量関数から求める手法が採用される。その値は、

$$\begin{equation*}\begin{split}V(X)=\frac{N^{2}-1}{12}\end{split}\end{equation*}$$となる。

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