条件付き確率とは

条件付き確率とは

条件付き確率とは、「ある事象が起こったという条件（前提）の下で別の事象が起こる確率」を指します。

「事象Aが起こった上で、事象Bが起きる確率」をAにおけるBの条件付き確率と言います。

条件付き確率の定義

事象A（条件となる事象）が起こった上で、事象Bが起きる確率は$P(B|A)$と表し、その確率は次のようになります。

$P(B|A) = \frac{P(A \land B)}{P(A)}$

事象A,Bが独立なときの条件付き確率

事象A,Bが独立なとき、条件付き確率は条件に左右されることなく、もとの確率を取ります。

つまり、事象A,Bが独立なときの条件付き確率は次のようになります。

$P(A|B) = P(A)$

$P(B|A) = P(B)$

このことは、条件付き確率の定義の式からも明らかです。

2つの事象が独立なときは、$P(A \land B) = P(A)P(B)$が成り立つので、

$P(A|B) =\frac{P(A \land B)}{P(B)} =\frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A)$

となることからも確認できます。

事象A,Bが排反であるときの条件付き確率

事象A,Bが排反であるとき、事象Aと事象Bは同時に起こりません。

よって$P(A \land B) = 0$なので、条件付き確率は次のようになります。

$P(A|B) =\frac{P(A \land B)}{P(B)} =\frac{0}{P(B)} = 0$