確率密度関数を用いたカイ二乗分布の期待値と分散の導出

公式の確認

まずは公式を確認しましょう。

また、ガンマ関数の性質についても確認しておきましょう。

$\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt$

$\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)$

$\Gamma(k+1) = k!$

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }xf(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \frac{x^{{\frac{k}{2}}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}){2}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}){2}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\frac{k}{2}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{-1} 2^{\frac{k}{2}+1}}dx\end{split}\end{equation*}$$

ここで、

$\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)$

というガンマ関数の性質を使うと、

$\Gamma(\frac{k}{2})=\frac{\Gamma(\frac{k}{2}+1)}{\frac{k}{2}}$

となるので、

$$\begin{equation*}\begin{split}&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{\frac{k}{2}+1}}dx\end{split}\end{equation*}$$

補足

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+1) 2^{\frac{k}{2}+1}}\end{split}\end{equation*}$$

この式の$\frac{k}{2}+1$の部分を$\frac{k'}{2}$と置くと以下になる。

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}\end{split}\end{equation*}$$

これはパラメータ（母数）がk'のカイ二乗分布の確率密度関数である。そのため、

$$\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}dx=1\end{split}\end{equation*}$$

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、１である。

分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2} \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{{\frac{k}{2}}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{-1} 2^{\frac{k}{2}+1}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\frac{k}{2}^{-1}{(\frac{k}{2}+1)}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+2)2^{-2} 2^{\frac{k}{2}+2}}dx\end{split}\end{equation*}$$

ここで、

$\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)$

というガンマ関数の性質を使うと、

$$\begin{equation*}\begin{split}\Gamma(\frac{k}{2})&=\frac{\Gamma(\frac{k}{2}+1)}{\frac{k}{2}}\\ &=\frac{\Gamma(\frac{k}{2}+2)}{\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1)}\end{split}\end{equation*}$$

となるので、

$$\begin{equation*}\begin{split}&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1) 2^{2}x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+2) 2^{\frac{k}{2}+2}}dx\end{split}\end{equation*}$$

補足

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+2) 2^{\frac{k}{2}+2}}\end{split}\end{equation*}$$

この式の$\frac{k}{2}+2$の部分を$\frac{k'}{2}$と置くと、

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}\end{split}\end{equation*}$$

となる。これはパラメータ（母数）がk'のカイ二乗分布の確率密度関数である。そのため、

$$\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k'}{2})-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k'}{2}) 2^{\frac{k'}{2}}}dx=1\end{split}\end{equation*}$$

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、１である。

$$\\\begin{equation*}\begin{split}&=\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1) 2^{2}\\&=k(k+2)\end{split}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}\begin{split}V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=k(k+2) -{k}^2\\ &=2k\end{split}\end{equation*}$$

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