積率母関数を用いたカイ二乗分布の期待値と分散の導出

公式の確認

まずは公式を確認しましょう。

また、ガンマ関数の性質についても確認しておきましょう。

$\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt$

$\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)$

$\Gamma(k+1) = k!$

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

積率母関数の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}M_{X}(t)&=E(\mathrm{e}^{tX})\\&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx} \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}+tx}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-2t}{2}})x}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-2t}{2}})x}}{\Gamma(\frac{k}{2}){(1- 2t)}^{\frac{k}{2}} {(\frac{2}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &={(1-2t)}^{-\frac{k}{2}} \displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-2t}{2}})x}}{\Gamma(\frac{k}{2}) {(\frac{2}{1-2t})}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &={(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}} \end{split}\end{equation*}$$

補足

$$\begin{equation*}\begin{split} \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-2t}{2}})x}}{\Gamma(\frac{k}{2}) {(\frac{2}{1-2t})}^{\frac{k}{2}}}\end{split}\end{equation*}$$

この式の$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{2}{1-2t}\end{split}\end{equation*}$$を$\theta$とすると、以下となる。

$$\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(\frac{k}{2})\theta^{\frac{k}{2}}}\end{split}\end{equation*}$$

これは尺度母数が$\theta$、形状母数が$\frac{k}{2}$のガンマ分布の確率密度関数である。

そのため、

$$\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(\frac{k}{2})\theta^{\frac{k}{2}}}dx=1\end{split}\end{equation*}$$

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、１である。

（ある事象における全ての確率を足すと１になることと同義）

期待値の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{M_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=\left.k {(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}-1} {(\frac{1}{1-2t})}'\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{k}{2} {(\frac{1}{1-2t})}^{\frac{k}{2}-1} \frac{2}{{(1-2t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.k{(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}+1}\right|_{t=0}\\ &=k\end{split}\end{equation*}$$

分散の導出

$$\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{M_X}(t)}{d{t}^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.{(k{(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}+1})}'\right|_{t=0}\\ &=\left.k(k{(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}+1}+1) {(\frac{1}{1-2t})}^{\frac{k}{2}} {(\frac{1}{1-2t})}'\right|_{t=0}\\ &=\left.k(\frac{k}{2}+1){(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}} \frac{2}{{(1-2 t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=k(\frac{k}{2}+1)2\\&=k(k+2)\\\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=k(k+2)-{k}^2\\ &=2k\end{split}\end{equation*}$$