確率質量関数を用いた二項分布の最頻値の導出

二項分布の最頻値の導出

二項分布の確率質量関数は以下の式で表されます。

$f\left( x\right) =\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}$

最頻値とは、確率質量関数$f(x)$が最大となる$x$を指します。

$f(x)$は常に正の値をとるので、

$$\begin{equation*}\begin{split}f\left( x\right) -f\left( x-1\right) ≧0\\ \end{split}\end{equation*}$$

を満たす最大の$x$が最頻値です。

$$\begin{equation*} \begin{split} &\Leftrightarrow \dfrac {f(x)}{f(x-1)} \geq 1 \\ &\Leftrightarrow \dfrac {(n-x+1)! \cdot (x-1)!p}{(n-x)! \cdot x!q} \geq 1 \\ &\Leftrightarrow \dfrac {(n-x+1)p}{xq} \geq 1 \\ &\Leftrightarrow x(p+q) \leq p(n+1) \end{split} \end{equation*}$$

$p+q = 1$ より、

$$\begin{equation*} \Leftrightarrow x \leq p(n+1) \end{equation*}$$

よって最頻値$x$は、

$p(n+1)-1≦x≦p(n+1)$

を満たす整数$x$となります。(等号成立時に最頻値は二つになります。)

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