時系列解析における自己共分散・自己相関

時系列データにおける自己共分散・自己相関

データの要約として頻繁に用いられるの平均や分散は、時系列データにも適用することができます。

また、複数の変数間の関係を要約する方法としては、相関係数や共分散が用いられます。

特に相関係数は -1 から 1 の値をとり、二変量がどのぐらい直線の関係にあるかを表すものでした。

時系列は系列であり、前後の繋がりに意味があると考えられるので、任意の時点$t$での値 $yt$ と $k$ だけずれた時点 $t−k$ での値 $yt−k$ の関係に注目します。

$yt$ と $yt−k$ の共分散や相関係数は、その系列自身との関係を表すために自己共分散や自己相関と呼ばれます。

時系列 $yt$ に対し、平均 $mu_t$、自己共分散 $Ck$ と自己相関 $Rk$は次のように表されます。

$\mu_t = {\rm E}(y_t)$

$C_{t, k} = {\rm Cov}(y_t, y_{t-k}) = {\rm E}\{(y_t - \mu_t)(y_{t-k}- \mu_t)\}$

$R_{t, k} =\frac{{\rm Cov}(y_t, y_{t-k})}{\sqrt{ {\rm Var}(y_t){\rm Var}(y_{t-k}) }}= \frac{C_{t, k}}{C_{t, 0}}$

また、$k$ の関数とみなしたとき、 $Ct,k$ は自己共分散関数、 $Rt,k$ は自己相関関数と呼ばれます。